[論文レビュー] The Ultraviolet Structure of Quantum Field Theories. Part 1: Quantum Mechanics

Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|May 24, 2021

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、波動関数の滑らかさとコンパクト性を課すことによって、有限次元格子理論から連続量子力学を体系的に導出するためのフレームワーク—taming—を提案する。この手法により、正準交換関係、接触項、時空対称性、超対称性代数が、tame部分空間において自然に出現することが示され、任意の格子超対称理論がゼロとなるウィテン指数を持つことを証明する。

ABSTRACT

This paper fires the opening salvo in the systematic construction of the lattice-continuum correspondence, a precise dictionary that describes the emergence of continuum quantum theories from finite, nonperturbatively defined models ("lattice theories"). Here the focus will be on quantum field theory in (0+1)D, i.e. quantum mechanics. The main conceptual achievement is an explicit and systematic procedure for reducing a theory with a large but finite Hilbert space to a subtheory in which wavefunctions satisfy prescribed smoothness and compactness constraints. This reduction, here named taming, in effect defines quantum mechanics on a continuum target space. When appropriate lattice theories are tamed, many familiar continuum notions explicitly emerge, e.g. canonical commutation relations, contact terms in correlation functions, continuous spacetime symmetries, and supersymmetry algebras. All of these are thus "put on the lattice" using the present framework. This analysis also leads to further insights into old subjects: for example, it is proven that any supersymmetric lattice theory must have a vanishing Witten index.

研究の動機と目的

• 有限ヒルベルト空間の部分空間に注目することで、量子場理論における体系的で厳密な格子-連続対応を確立すること。
• 関数解析に依存せずに、非摂動的で有限なモデルから連続的挙動を構築することにより、QFTにおける基礎的問題を解決すること。
• 交換関係、接触項、時空対称性といった、連続的構造の主要な特徴が、制御された還元によって格子系からどのように出現するかを示すこと。
• 有限ヒルベルト空間における超対称性を分析し、任意の格子実装における正確なSUSYがウィテン指数をゼロにすることを証明すること。
• 目標空間のtamingと空間的滑らかさを用いて、このフレームワークを高次元QFTに拡張するためのブループrintを提供すること。

提案手法

• 波動関数が滑らかさとコンパクト性の制約を満たす部分空間に、大きなが有限ヒルベルト空間を射影するための手続き「taming」を導入する。
• 時計代数の制御された還元（滑らか化とtaming）を用いて、任意の精度で連続量子力学モデルを近似する。
• 各時刻ステップに挿入される状態の集合を制限することで経路積分形式を表現し、標準的な二次形式を持つ有効作用を導出する。
• 経路積分において制御不能な時間的滑らか化を適用し、補正項を補完することで、連続的挙動と相関関数を回復する。
• 有限ヒルベルト空間上に非ラグランジュ的で最小限の超対称モデルを構築し、SUSY代数がtamingの後にのみ出現することを示す。
• 格子ベースの鞍点和の定義を活用し、taming手続きによってコンパクトなQ.M.と非コンパクトなQ.M.を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして有限で非摂動的に定義された格子理論から、連続量子力学を体系的に導出できるか？
• RQ2 正準交換関係と相関関数における接触項が、格子モデルからどのような条件下で出現するか？
• RQ3 時空対称性と超対称性代数は有限ヒルベルト空間上に実現可能か？ もし可能であれば、どのように実現されるか？
• RQ4 正確な超対称性が格子理論に課す制約、特にウィテン指数に関しては何か？
• RQ5 taming手続きは、有限的フレームワークにおいてどのように連続的構造の出現を可能にするか？

主な発見

• taming手続きにより、任意の精度でℝ上およびS¹上の自由粒子、調和振動子、超対称調和振動子が有限時計代数から回復される。
• 適切に選ばれたtamingパラメータのもとで、格子上の経路積分は標準的な二次形式を持つ有効作用を生じさせ、結果としての経路積分は式(5.27)に従って正確な結果を近似する。
• 補正項と接触項が、格子ベースの滑らか化とtaming手続きから自然に出現し、これらの連続的特徴の非摂動的起源を提供する。
• 再パrameter化不変性を含む時空対称性が、明示的な連続的構造がなくても、適切なtamingと滑らか化の後、格子上で出現する。
• 正確な超対称性を持つ任意の格子理論のウィテン指数はゼロでなければならない。これは、すべての状態が少なくとも二重に縮退していることを示唆する。
• 超対称性代数とボソンとフェルミオンの間の対称性は、tamingの後にのみ顕在化する。これは、この対称性がtame部分空間において出現的であることを示している。