[論文レビュー] The Uncertainty Relation for Smooth Entropies

Marco Tomamichel, Renato Renner|UTS ePRESS (University of Technology Sydney)|Sep 10, 2010

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子側情報が存在する状況において、滑らかエントロピーを用いて不確定性原理を一般化し、ある測定結果の最小エントロピーと補完的結果の最大エントロピーの間の頑健な関係を提供する。主な貢献は、BB84のような量子鍵配送プロトコルに対するタイトでデバイスに依存しないセキュリティ証明であり、漸近的近似やde Finetti定理などの追加ツールに依存せずに、有限キーサイズの境界を直接得ることに成功している。

ABSTRACT

Uncertainty relations give upper bounds on the accuracy by which the outcomes of two incompatible measurements can be predicted. While established uncertainty relations apply to cases where the predictions are based on purely classical data (e.g., a description of the system's state before measurement), an extended relation which remains valid in the presence of quantum information has been proposed recently [Berta et al., Nat. Phys. 6, 659 (2010)]. Here, we generalize this uncertainty relation to one formulated in terms of smooth entropies. Since these entropies measure operational quantities such as extractable secret key length, our uncertainty relation is of immediate practical use. To illustrate this, we show that it directly implies security of a family of quantum key distribution protocols including BB84. Our proof remains valid even if the measurement devices used in the experiment deviate arbitrarily from the theoretical model.

研究の動機と目的

• 量子側情報が関与する状況において、標準的なフォン・ノイマンエントロピーの代わりに滑らかエントロピーを用いて不確定性原理を拡張すること。
• BB84のような量子鍵配送プロトコルのセキュリティ証明を、任意の測定デバイスのずれに対しても頑健であるように提供すること。
• 有限キーサイズのセキュリティ解析において、量子漸近的等分割性やde Finetti定理などの補助的ツールや漸近的仮定に依存しないようにすること。
• 滑らかエントロピー不確定性関係を直接用いることで、従来の手法よりもタイトな有限キーサイズ境界を導出すること。

提案手法

• 滑らか最小エントロピーと滑らか最大エントロピーを用いた不確定性関係を定式化する：$ H_{\textnormal{min}}^{\varepsilon}(\textnormal{X}|\textnormal{B}) + H_{\textnormal{max}}^{\varepsilon}(\textnormal{Z}|\textnormal{C}) \geq q $、ここで $ q = \log_2(1/c) $ であり、$ c $ は測定基底間の最大重なりを表す。
• 仮想的な状況として、アリスとボブが逆の基底で測定するのを想定し、不確定性関係をBB84プロトコルに適用することで、彼らの生鍵の最小エントロピーと相関データの最大エントロピーを結びつける。
• 生鍵における観測されたビット誤り率 $ \delta $ を用いて、最大エントロピーを $ H_{\textnormal{max}}^{\varepsilon}(\textnormal{X}|\textnormal{X}^\prime) \lessapprox n h(\delta) $ で上限付ける。ここで $ h(\delta) $ はバイナリエントロピー関数である。
• 抽出可能な秘密鍵長を $ \ell \approx n(q - 2h(\delta)) $ として、漸近的または近似的なステップを追加せずに、不確定性関係から直接導出する。
• 測定デバイスが理想モデルからずれても証明が有効であることを保証し、実世界の実装に対しても頑健である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不確定性原理は、非i.i.d.状況における抽出可能な秘密鍵長といった運用的量を捉えるために、滑らかエントロピーに一般化可能か？
• RQ2 不確定性関係を用いて、量子漸近的等分割性やde Finetti定理に依存せずに、量子鍵配送プロトコルのセキュリティを証明できるか？
• RQ3 滑らかエントロピー不確定性関係から直接導かれるBB84の有限キーサイズセキュリティ境界は何か？
• RQ4 不確定性関係は、測定デバイスの任意のずれをどのように扱い、デバイスに依存しないセキュリティを保証するか？

主な発見

• 任意の量子状態と測定基底に対して、不確定性関係 $ H_{\textnormal{min}}^{\varepsilon}(\textnormal{X}|\textnormal{B}) + H_{\textnormal{max}}^{\varepsilon}(\textnormal{Z}|\textnormal{C}) \geq q $ が成り立つ。これは標準的なエントロピック不確定性関係を一般化するものである。
• この関係は、BB84の有限キーサイズセキュリティ境界 $ \ell \approx n(q - 2h(\delta)) $ を示唆する。ここで $ q $ は基底の不適合性に依存し、$ \delta $ は観測されたビット誤り率である。
• 証明は、量子漸近的等分割性やde Finetti定理を必要とせず、有限な $ n $ に対してよりタイトな境界をもたらす。
• 測定デバイスが敵対的に改ざんされてもこの方法は有効であり、デバイスに依存しないセキュリティ解析が可能である。
• 境界はタイトで直接的な運用性を有しており、滑らかエントロピーが抽出可能な秘密鍵長と再構築誤り確率を正確に定量化している。