[論文レビュー] The unconditional basic sequence problem

W. T. Gowers, B. Maurey|arXiv (Cornell University)|May 6, 1992

Advanced Banach Space Theory被引用数 75

ひとこと要約

この論文は、無限の無条件基本列を含まない、反射的かつ素朴に分解不能（H.I.）なバナッハ空間を構成し、無条件基本列問題を解決する。主な革新はシュループレヒト空間に新しいノルム付け技術を適用することにあり、その結果、このような空間が無条件基底を含まないことが証明され、空間上の任意の有界作用素がスカラー加算と厳密に特異な作用素の和であることが示され、これは任意の真部分空間や超平面とは同型でないことを意味する。

ABSTRACT

We construct a Banach space that does not contain any infinite unconditional basic sequence.

研究の動機と目的

• すべての可分バナッハ空間が無限の無条件基本列を含むかどうかという長年の未解決問題を解決すること。
• 任意の無限次元部分空間が位相的直和分解に分割できないという性質を持つ、反射的バナッハ空間を構成すること。
• そのようなH.I.空間が無限の無条件基本列を含まないことを示し、無条件基本列問題に対する反例を提供すること。
• 複素H.I.バナッハ空間上の任意の有界線形作用素が λId + S の形に書けることを確立し、強い構造的帰結を導くこと。

提案手法

• シュループレヒト空間に着目し、C-無条件基本列を含まない同値ノルムが存在するという基準を満たすことを応用する。
• 漸近的集合の概念を用いて、新たな漸近的構造を定義し、摂動下での基本列の振る舞いを制御する。
• 任意の二つの無限次元部分空間がノルムで任意に近いことを示し、位相的直和分解が存在しないことから、空間が素朴に分解不能（H.I.）であることを証明する。
• スペクトル論と無限に特異な性質（無限次元部分空間上で T − λId が同型でないようなスカラー λ）を用いる。
• H.I.空間では任意の有界作用素のスペクトルが有限または一つの点に収束する固有値の列であることを示し、その点が無限に特異であることを証明する。
• 複素空間の解析にはスペクトル射影と不変部分空間の議論を用い、スペクトルが有限または収束列であることを示し、作用素分解定理に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての可分バナッハ空間は無限の無条件基本列を含むか？
• RQ2 無条件基本列を含まない反射的バナッハ空間は存在するか？
• RQ3 任意の真部分空間や超平面とは同型でない素朴に分解不能バナッハ空間は存在するか？
• RQ4 素朴に分解不能バナッハ空間上の有界線形作用素の構造はいかなるものか？
• RQ5 このような空間上の作用素構造は、λId + 厳密に特異な形に完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 構成されたバナッハ空間は反射的かつ素朴に分解不能（H.I.）であり、任意の無限次元部分空間が二つの無限次元部分空間の位相的直和に分解できないことを意味する。
• 空間は無限の無条件基本列を含まないため、無条件基本列問題は否定的に解決された。
• 複素空間上の任意の有界線形作用素 T は T = λId + S の形に書け、S は厳密に特異であり、T のスペクトルは有限または λ に収束する固有値の列である。
• 空間は任意の真部分空間と同型ではなく、特に任意の超平面とも同型でないため、超平面問題に対する反例である。
• 実空間バージョンについても、複素化とスペクトル対称性の議論により、同様の非同型性が示された。
• 空間は任意の有限余次元部分空間に同型であるという予想の反例であり、また任意の超平面とも同型でない。