[論文レビュー] The Unifying Double Complex on Supermanifolds

Sergio L. Cacciatori, Simone Noja+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、層の三重テンソル積を用いて超多様体上の統一的二重複体を構成し、de Rham複体（微分形式の複体）とSpencer複体（積分形式の複体）の両方がそのスペクトル系列から生じることを明らかにする。主な結果は、実および複素超多様体上の微分形式および積分形式のコホモロジーが同型であり、それらはすべて還元多様体のde Rhamコホモロジーを計算することである。一方、カーラー還元超多様体では、ホッジからde Rhamへのスペクトル系列は1ページ目で退化しない。

ABSTRACT

We unify the notions of differential and integral forms on real, complex and algebraic supermanifolds. We do this by constructing a double complex resulting from a triple tensor product of sheaves, whose associated spectral sequences give the de Rham complex of differential forms and the Spencer complex of integral forms at page one. For real and complex supermanifolds both the spectral sequences converge at page two to the locally constant sheaf. We use this fact to show that the cohomology of differential forms is isomorphic to the cohomology of integral forms, and they both compute the de Rham cohomology of the reduced manifold. Furthermore, we show that, in contrast with the case of ordinary complex manifolds, the Hodge-to-de Rham (or Frolicher) spectral sequence of supermanifolds with Kahler reduced manifold does not converge in general at page one.

研究の動機と目的

• 実、複素、代数的超多様体における微分形式と積分形式を、共通の代数的構造を用いて統一すること。
• 超幾何学におけるコホモロジカル不変量の統一的枠組みの欠如を解消すること。
• 超多様体上での微分形式コホモロジーと積分形式コホモロジーの関係を明確にすること。
• 特にカーラー還元多様体におけるホッジからde Rhamへのスペクトル系列の性質を、超多様体の文脈で調査すること。

提案手法

• 微分形式、積分形式、定数の層の三重テンソル積から二重複体を構成する。
• 関連するスペクトル系列を解析し、1ページ目にde Rham複体とSpencer複体を抽出する。
• スペクトル系列の収束を用いて、実および複素超多様体上の局所定数層への微分形式および積分形式のコホモロジーの関係を導出する。
• 収束結果を応用して、微分形式と積分形式のコホモロジーが同型であることを証明する。
• カーラー還元多様体を有する超多様体では、ホッジからde Rhamへのスペクトル系列が1ページ目で収束しないことを示し、通常の複素多様体とは対照的にする。
• 層論的およびスペクトル系列の技法を活用して、コホモロジー的同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超多様体上の微分形式と積分形式を、単一の代数的枠組みで統一することは可能か？
• RQ2 超多様体上での微分形式コホモロジーと積分形式コホモロジーの関係は何か？
• RQ3 カーラー還元多様体を有する超多様体では、ホッジからde Rhamへのスペクトル系列は1ページ目で退化するのか？（通常の複素多様体の場合と同様に？）
• RQ4 微分形式および積分形式のコホモロジーが、還元多様体のde Rhamコホモロジーをどの程度まで計算するのか？
• RQ5 二重複体のどの構造的性質が、実および複素超多様体上の局所定数層へのスペクトル系列の収束を保証するのか？

主な発見

• 実および複素超多様体上での微分形式のコホモロジーは、積分形式のコホモロジーと同型である。
• 微分形式および積分形式の両方のコホモロジーは、還元多様体のde Rhamコホモロジーを計算する。
• 二重複体に関連するスペクトル系列は、実および複素超多様体上で2ページ目に局所定数層に収束する。
• カーラー還元多様体を有する超多様体では、ホッジからde Rhamへのスペクトル系列は1ページ目で収束せず、通常の複素多様体とは対照的である。
• 統一的二重複体は、三重テンソル積による層の構成によって得られ、超形式コホモロジーの体系的枠組みを提供する。
• 二重複体の構造は、超幾何学における微分形式と積分形式の間の深い双対性を明らかにする。