[論文レビュー] The unit equation has no solutions in number fields of degree prime to $3$ where $3$ splits completely

Nicholas Triantafillou|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、3 が完全に分解し、$[K:\mathbb{Q}]$ が 3 で割り切れない数体 $K$ において、単数方程式 $x + y = 1$ は解をもたないことを証明する。$p$-進的手法を用い、スコレム＝チャバウル＝コールマン法にインspiredされたアプローチにより、これらの条件下で $\/mathcal{O}_K^\times$ の任意の単数の組は 1 に和をとらず、これにより、例外的単数をもたない高次数の無限族の数体が初めて得られる。

ABSTRACT

Let $K$ be a number field with ring of integers $\mathcal O_{K}$. We prove that if $3$ does not divide $ [K:\mathbb Q]$ and $3$ splits completely in $K$, then the unit equation has no solutions in $K$. In other words, there are no $x, y \in \mathcal O_{K}^{ imes}$ with $x + y = 1$. Our elementary $p$-adic proof is inspired by the Skolem-Chabauty-Coleman method applied to the restriction of scalars of the projective line minus three points. Applying this result to a problem in arithmetic dynamics, we show that if $f \in \mathcal O_{K}[x]$ has a finite cyclic orbit in $\mathcal O_{K}$ of length $n$ then $n \in \{1, 2, 4\}$.

研究の動機と目的

• 3 が完全に分解し、次数が 3 と素な数体—特に、単数方程式に解をもたない新しいクラスの数体を確立すること。
• 2 が $\\mathbb{F}_2$ を残渣体として分解する自明な場合を除き、例外的単数をもたない高次元数体の非自明な無限族を初めて提供すること。
• この結果を算術的力学に応用し、このような数体上での多項式写像の有限軌道における可能なか周期長を制限すること。
• 特にスコレム＝チャバウル＝コールマン法を、$\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ のスカラー制限にまで適用可能にするように拡張すること。

提案手法

• 3 が $K$ で完全に分解することにより誘導される $d$ 個の埋め込みを用いて、$\mathcal{O}_K$ を $\mathbb{Z}_3^d$ に埋め込むことにより、単数方程式に $p$-進解析を適用する。
• 単数 $\mathcal{O}_K^\times$ がこれらの埋め込みのもとで $1 + 3\mathbb{Z}_3$ に写されるという事実を用い、それらの対数が正の 3-進付値を持つことを保証する。
• 解に対応するゼロを持つ $3$-進べき級数 $f(n) = \prod_{i=1}^d (1 + \exp(n \log u_i))$ を構成する。
• 級数展開における係数の $3$-進付値を解析し、$v_3(a_0) \geq 2$ が成り立つのは $3 \mid d$ の場合に限ることを示し、仮定 $3 \nmid d$ に矛盾することを示す。
• $p$-進対数関数および指数関数の理論を用い、$\mathbb{Z}_3$ における $\exp$ および $\log$ の収束条件に依存する。
• 結果を、$\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ の一般化されたヤコビアンのスカラー制限に結びつけ、解を $3$-進解析的集合における交点として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2 が $\\mathbb{F}_2$ を残渣体として分解する自明な場合を除き、単数方程式に解をもたない高次元数体の無限族は存在するか？
• RQ2 スコレム＝チャバウル＝コールマン法は、局所的条件を用いて数体上の多様体に有理点が存在しないことを検出するために適応可能か？
• RQ3 数体 $K$ にどのような局所的条件が、例外的単数（$x,y \in \mathcal{O}_K^\times$ で $x + y = 1$ を満たすもの）の非存在を強いるか？
• RQ4 素数 $p$ の分解型と $K$ の次数が、単数方程式の解の存在にどのように作用するか？
• RQ5 数体に例外的単数が存在しない場合、特に多項式写像の有限軌道においてどのような動的結果が得られるか？

主な発見

• 3 が $K$ で完全に分解し、$3 \nmid [K:\mathbb{Q}]$ であるとき、単数方程式 $x + y = 1$ は $\mathcal{O}_K^\times$ に解をもたない。
• この結果により、2 が $\\mathbb{F}_2$ を残渣体として分解する場合を除き、例外的単数をもたない高次元数体の非自明な無限族が初めて同定された。
• 証明は、ノルム写像の $3$-進べき級数展開の解析に依拠し、定数項 $a_0 = 2^d - (-1)^d$ に対して $v_3(a_0) \geq 2$ が成り立つのは $3 \mid d$ の場合に限ることを示し、仮定に矛盾する。
• この方法は、$\mathbb{Z}_3$ における $\exp$ および $\log$ の収束に依存し、$f(n)$ の級数展開における奇数次項の消滅に起因する単数方程式の対称性を反映している。
• 系として、$\mathcal{O}_K[x]$ に属する任意の多項式 $f$ で、$\mathcal{O}_K$ 内に有限軌道をもつものについて、その軌道サイズ $n$ は $\{1,2,4\}$ に限られる。
• このような数体において例外的単数が存在しないことは、例外的単数が存在しない限り、奇数次の有限軌道が存在できないことを意味し、動的系と単数群の構造を結びつける。