[論文レビュー] The unitary polar factor Q=U minimizes norm{Log(Q^* Z)}^2 and norm{sym Log(Q^* Z)}^2 in the spectral norm in any dimension and the Frobenius matrix norm in three dimensions

Patrizio Neff, Yuji Nakatsukasa+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Matrix Theory and Algorithms被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、任意の次元においてスペクトルノルム、3次元においてはフロベニウスノルムで、行列 $Z = UH$ の極分解におけるユニタリ極因子 $Q = U$ が、すべてのユニタリ行列 $Q$ に対して $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ およびその対称部分 $\|\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ を最小化することを証明する。この結果は、行列対数とトレース不等式を用いて、$U$ が測地的距離の意味で $Z$ に最も近い直交行列であることを確立する。

ABSTRACT

The unitary polar factor $Q=U$ in the polar decomposition of the matrix $Z=UH$ is the minimizer for both $\| \mathrm{Log}(Q^* Z)\|^2$ and its Hermitian part $\| \mathrm{sym Log}(Q^* Z)\|^2$ over both $\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$, for any given invertible matrix $Z$ in $\mathbb{C}^{n imes n}$ and any matrix logarithm $\mathrm{Log}$, not necessarily the principal logarithm $\mathrm{log}$. We prove this for the spectral matrix norm in any dimension and for the Frobenius matrix norm in two and three dimensions. The result shows that the unitary polar factor is the nearest orthogonal matrix to $Z$ not only in the normwise sense, but also in a geodesic distance. The derivation is based on Bhatia's generalization of Bernstein's trace inequality for the matrix exponential and a new sum of squared logarithms inequality.

研究の動機と目的

• 任意の正則行列 $Z$ に対して、行列対数を用いて定義される測地的類似距離が最小化されることを確立すること。
• ノルムに基づく距離を超えて、測地的および対数的行列ノルムを含む「最も近い直交行列」の概念を拡張すること。
• $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ および $\|\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ がユニタリ行列 $Q$ の下で最小化されることを、非主対数を用いて証明すること。
• この最小化がすべての次元においてスペクトルノルムで、および $n=2,3$ においてフロベニウスノルムで成り立つことの証明。
• 新しい二乗対数の和の不等式を導出し、行列指数関数の Bernstein のトレース不等式を一般化すること。

提案手法

• 行列指数関数の Bernstein のトレース不等式の一般化（Bhatia の結果）を用いて、対数ノルムを評価する。
• 対数行列式のトレースを制御するために、新規の二乗対数の和の不等式を適用する。
• 主対数に限らない任意の対数を用いて、行列対数 $\mathrm{Log}(Q^*Z)$ を分析する。
• 測地的構造を捉えるために、対数の全量とその対称部分 $\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)$ の両方を検討する。
• スペクトルノルムとフロベニウスノルムを用いて、さまざまな行列ノルムにおける最小化を評価する。
• 対数的乖離の二乗ノルムが最小化されることを示すことにより、$Q = U$ の最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則行列 $Z$ に対して、任意のユニタリ行列 $Q$ について $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ が最小化されるか？
• RQ2 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ の最小化子が $\|\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ の最小化子と同じか？
• RQ3 この最小化は、すべての次元においてスペクトルノルムで、$n=2,3$ においてフロベニウスノルムで成り立つか？
• RQ4 非主対数行列対数を用いてこの結果を確立できるか？
• RQ5 この最小化結果を証明するために必要な新しい不等式は何か？

主な発見

• ユニタリ極因子 $U$ は、任意の次元 $n$ に対してスペクトルノルムで、すべてのユニタリ行列 $Q$ について $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ を最小化する。
• 3次元では、$U$ はフロベニウスノルムでも $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ を最小化する。
• 同じ条件下で、対称部分 $\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)$ に対しても、スペクトルノルムおよびフロベニウスノルムの両方で最小化が成立する。
• この結果は、主対数に限らず、任意の行列対数 $\mathrm{Log}$ に対して成り立つ。
• 証明は、新しい二乗対数の和の不等式と、行列指数関数の一般化されたトレース不等式に依存する。
• ユニタリ極因子 $U$ は、行列対数を用いて定義される測地的距離型距離の唯一の最小化子である。