[論文レビュー] The unitary representations of the Poincare group in any spacetime dimension

Xavier Bekaert, Nicolas Boulanger|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2006

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、誘導表現とヤング図を用いて、任意の時空次元 D > 2 におけるポアンカレ群 ISO(D−1,1) のユニタリ無限小表現（UIR）の包括的な群論的分類を提供する。質量のある、質量ゼロ（ヘリシティおよび無限スピン）およびタキオン粒子の共変場方程式を体系的に導出し、相対論的場の理論と ISO(D−1,1) の UIR の間に一対一の対応関係を確立する。主な貢献は、すべての次元において表現論を用いた相対論的粒子の統一的で詳細な分類フレームワークを提供することであり、各クラスに対して明示的な場の理論方程式を提示する。

ABSTRACT

An extensive group-theoretical treatment of linear relativistic field equations on Minkowski spacetime of arbitrary dimension D>2 is presented in these lecture notes. To start with, the one-to-one correspondence between linear relativistic field equations and unitary representations of the isometry group is reviewed. In turn, the method of induced representations reduces the problem of classifying the representations of the Poincare group ISO(D-1,1) to the classication of the representations of the stability subgroups only. Therefore, an exhaustive treatment of the two most important classes of unitary irreducible representations, corresponding to massive and massless particles (the latter class decomposing in turn into the ``helicity'' and the "infinite-spin" representations) may be performed via the well-known representation theory of the orthogonal groups O(n) (with D-4<n<D). Finally, covariant field equations are given for each unitary irreducible representation of the Poincare group with non-negative mass-squared. Tachyonic representations are also examined. All these steps are covered in many details and with examples. The present notes also include a self-contained review of the representation theory of the general linear and (in)homogeneous orthogonal groups in terms of Young diagrams.

研究の動機と目的

• 任意の時空次元 D > 2 におけるポアンカレ群 ISO(D−1,1) のユニタリ無限小表現（UIR）の完全な群論的分類を提供すること。
• 線形相対論的場の理論と等Iso(D−1,1) の UIR の間に一対一の対応関係を確立し、標準的な粒子分類を任意の D に一般化すること。
• 非負の質量平方を持つすべての UIR に対して、共変場方程式を体系的に導出すること。これには、質量のある、ヘリシティ、無限スピン、およびタキオン表現が含まれる。
• 一般線型群および直交群の表現論の包括的レビューを提示し、ヤング図を用いて場の理論方程式を明示的に構成可能にする。

提案手法

• 誘導表現の手法を用い、ポアンカレ群の UIR の分類を、運動量空間内の各軌道における安定性（小さな）群の表現の分類に還元する。
• 質量のある粒子に対しては、小さな群は SO(D−1) であり、O(D−1) の直交群に対するヤング図を用いて UIR が分類される。
• 質量ゼロの粒子に対しては、小さな群は ISO(D−2) であり、ヘリシティ（有限スピン）と無限スピン表現の2つのクラスに分かれる。ヤング図の制約を用いて、それぞれ異なる場の理論方程式が導出される。
• 一般化されたデイラック作用素およびクライン＝ゴルドン作用素を用いて共変場方程式を構成し、ヤング射影子による対称性とトレースレス性を強制する制約を課す。
• 場の理論方程式の不変性とローレンツ共変性を保証するために、補助変数を導入し、表現の無限小性を保証する。
• 次元削減技術と双対性関係（特に D=3 において）を組み込み、高スピン場をスカラーまたはスピンオル場の双対に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアンカレ群 ISO(D−1,1) のユニタリ無限小表現（UIR）は、任意の時空次元 D > 2 においてどのように分類可能か？
• RQ2 すべての D において、線形相対論的場の理論とポアンカレ群の UIR の間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 ヘリシティと無限スピン質量ゼロ表現は、高次元において、どのように場の理論方程式の構造と変換性において異なるか？
• RQ4 タキオン表現の共変場方程式は何か？また、バーグマン＝ヴァイナー計画とどのように関係するか？
• RQ5 ヤング図と O(n) の表現論は、任意の D におけるポアンカレ群の UIR をどのように分類するか？

主な発見

• 本稿は、任意の時空次元 D > 2 において、線形相対論的場の理論とユニタリ無限小表現（UIR）のポアンカレ群 ISO(D−1,1) の間に完全な一対一の対応関係を確立する。
• 質量のある粒子に対しては、UIR は直交群 O(D−1) のヤング図によって分類され、一般化されたデイラック作用素およびクライン＝ゴルドン作用素を用いて場の理論方程式が構成される。
• 質量ゼロの表現はヘリシティ（有限スピン）と無限スピンの2種類に分けられ、それぞれ異なる場の理論方程式を持つ。ヘリシティ場は対称トレースレステンソルで記述され、無限スピン場は連続的な運動量ラベルを持つ無限成分のゲージ場を必要とする。
• D=3 において、本稿はすべての質量ゼロヘリシティ場（ボソン的またはフェルミオン的）が、ホッジ双対性により単一のスカラーまたはスピンオル場と双対であることを示している。場の強度は対称テンソル場に双対化される。
• タキオン表現はアーベル的な小さな群 SO(1,1) を用いて分類され、UIR は実数パラメータ s ∈ R によってラベル付けられる。その場の理論方程式は、バーグマン＝ヴァイナー計画の解として導出される。
• 本フレームワークは、非負の質量平方を持つすべての UIR に対して明示的かつ共変な場の理論方程式を提供しており、シーゲル＝ツワイバッハ作用素が高次元の質量ゼロ場の理論方程式の次元削減として導出されることを示している。