[論文レビュー] The Universal Fragment of Presburger Arithmetic with Unary Uninterpreted Predicates is Undecidable

Matthias Horbach, Marco Voigt+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、単一のユニナリ未解釈述語を追加した純粋な普遍的フラグメントが、2カウンターマシンの停止問題をこのフラグメント内の不充足可能性問題に還元することによって、決定不能であることを証明している。主な貢献は、この制限された言語における不充足性のΣ⁰₁完全性を確立し、存在記号や関数記号が存在しない場合でさえ決定不能であることを示したことである。

ABSTRACT

The first-order theory of addition over the natural numbers, known as Presburger arithmetic, is decidable in double exponential time. Adding an uninterpreted unary predicate to the language leads to an undecidable theory. We sharpen the known boundary between decidable and undecidable in that we show that the purely universal fragment of the extended theory is already undecidable. Our proof is based on a reduction of the halting problem for two-counter machines to unsatisfiability of sentences in the extended language of Presburger arithmetic that does not use existential quantification. On the other hand, we argue that a single $\\forall\\exists$ quantifier alternation turns the set of satisfiable sentences of the extended language into a $\\Sigma^1_1$-complete set. Some of the mentioned results can be transfered to the realm of linear arithmetic over the ordered real numbers. This concerns the undecidability of the purely universal fragment and the $\\Sigma^1_1$-hardness for sentences with at least one quantifier alternation. Finally, we discuss the relevance of our results to verification. In particular, we derive undecidability results for quantified fragments of separation logic, the theory of arrays, and combinations of the theory of equality over uninterpreted functions with restricted forms of integer arithmetic. In certain cases our results even imply the absence of sound and complete deductive calculi.

研究の動機と目的

• 未解釈述語を追加したプレスナッカー算術における決定可能と決定不能なフラグメントの間のギャップを埋めること。
• この拡張理論の純粋な普遍的フラグメントが依然として決定可能か、それとも決定不能になるかを特定すること。
• 未解釈述語が存在する状況における決定可能と決定不能なフラグメントの境界を明確にすること。
• この決定不能性が、分離論理や配列理論などの検証論理に与える影響を評価すること。
• 量化子の入れ替えを含むフラグメントにおける健全かつ完全な公理的計算体系の存在を検討すること。

提案手法

• 2カウンターマシンの停止問題を、単一のユニナリ未解釈述語を含むプレスナッカー算術の純粋な普遍的フラグメントにおける不充足性問題に還元する。
• マシンの状態を整数の三つ組 (状態, カウンタ1, カウンタ2) として符号化し、到達可能な状態を1つの未解釈述語 P で表す。
• 移行と初期状態・終了状態を符号化するため、普遍的量化子と線形算術制約のみを用いた文を構成する。
• 時間的順序と停止条件を符号化するために、補助定数 d と e を導入し、存在記号を避ける。
• 配置の時間的順序を追跡する変更された符号化を用い、再帰的および停止動作の形式的表現を可能にする。
• 符号化を順序付き実数の領域に適応することで、実数上の線形算術へ結果を転送し、決定不能性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一のユニナリ未解釈述語を含むプレスナッカー算術の純粋な普遍的フラグメントは決定可能か？
• RQ2 全拡張の決定不能性は、普遍的フラグメントそのものに起因するか？
• RQ3 拡張言語における単一の ∀∃ 量化子の入れ替えを含む文の充足可能性問題の複雑さは何か？
• RQ4 決定不能性の結果は、単一のユニナリ未解釈述語を含む順序付き実数上の線形算術へ拡張可能か？
• RQ5 この決定不能性が、自動推論や分離論理、配列理論などの検証論理に与える影響は何か？

主な発見

• 単一のユニナリ未解釈述語を含むプレスナッカー算術の純粋な普遍的フラグメントは、不充足性の集合がΣ⁰₁完全であるため、決定不能である。
• この決定不能性は、ハーン節に制限された場合でも成立し、複雑な論理的構造によるものではないことが示された。
• 単一の ∀∃ 量化子の入れ替えを含む文の充足可能性問題はΣ¹₁-hardである。これはハルペルンの以前の結果を強化する。
• 決定不能性の結果は、単一のユニナリ未解釈述語を含む順序付き実数上の線形算術へも転送可能である。
• 純粋な普遍的および純粋な存在的フラグメントに対しては、反証的完全な公理的計算体系が存在するが、制限のない ∀∃ 交替を含むフラグメントにはそのような体系は存在しない。
• これらの結果は、特定の分離論理、配列理論、および制限付き整数算術と等価性の組み合わせのフラグメントが決定不能であり、健全かつ完全な証明体系を欠く可能性があることを示唆している。