[論文レビュー] The Universal Gerbe and Local Family Index Theory

Alan L. Carey, Bai‐Ling Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、普遍的gerbeと局所的家族インデックス定理を用いて、行列式gerbe やインデックスgerbe などの幾何的に重要なバンドルgerbe を統一的に扱う。すべてのこのようなgerbe が、偶数エータ形式の次数2部分（閉形式を除く）に等しい曲率を持つ標準的接続を備えていることが示され、境界付きまたは境界なしの多様体上のインデックス理論的gerbe の共通枠組みが提供される。

ABSTRACT

The goal of this paper is to apply the universal gerbe developed in [CMi1] and [CMi2] and the local family index theorems to give a unified viewpoint on the known examples of geometrically interesting gerbes, including the determinant bundle gerbes in [CMMi1], the index gerbe in [L] for a family of Dirac operators on odd dimensional closed manifolds. We also discuss the associated gerbes for a family of Dirac operators on odd dimensional manifolds with boundary, and for a pair of Melrose-Piazza’s Cl(1)-spectral sections for a family of Dirac operators on even dimensional closed manifolds with vanishing index in K-theory. The common feature of these bundle gerbes is that there exists a canonical bundle gerbe connection whose curving is given by the degree 2 part of the even eta-form (up to an exact form) arising from the local family index theorem. 1

研究の動機と目的

• 普遍的gerbe の構成を用いて、既知の幾何的に興味深いバンドルgerbe の例を統一すること。
• 境界付き多様体およびスペクトルセクションを含むように、局所的家族インデックス定理の枠組みを拡張すること。
• 偶数エータ形式から導かれる曲率を持つ、標準的バンドルgerbe 接続を確立すること。
• 偶数エータ形式の次数2部分が、さまざまな幾何的設定におけるインデックスgerbe において果たす役割を明確にすること。
• 奇数次元および偶数次元の両方の設定において、バンドルgerbe の一貫したインデックス理論的解釈を提供すること。

提案手法

• 【CMi1】および【CMi2】における普遍的gerbe を、幾何的gerbe を構成する基盤的構造として用いる。
• 局所的家族インデックス定理を適用し、バンドルgerbe 接続の曲率と偶数エータ形式との関係を明示する。
• 標準的バンドルgerbe 接続の曲率を、偶数エータ形式の次数2成分（閉形式を除く）として定義する。
• 境界付き奇数次元多様体上のディラック作用素の族へこの構成を拡張する。
• 偶数次元閉多様体でインデックスが0である場合に、Melrose-Piazza の Cl(1)-スペクトルセクションを統合する。
• インデックス理論的恒等式を用いて、異なる幾何的・位相的設定間での曲率の一貫性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍的gerbe は、幾何的に意味のある既知のバンドルgerbe の例をどのように統一的に扱えるか？
• RQ2 局所的家族インデックス理論において、標準的バンドルgerbe 接続の曲率と偶数エータ形式の正確な関係は何か？
• RQ3 この構成は、境界付き奇数次元多様体上のディラック作用素の族へどのように拡張可能か？
• RQ4 Melrose-Piazza の Cl(1)-スペクトルセクションは、インデックスが0である偶数次元多様体におけるインデックスgerbe の定義において、どのような役割を果たすか？
• RQ5 偶数エータ形式の次数2部分は、標準的バンドルgerbe 接続の曲率をどのように決定するか？

主な発見

• 考察されたすべての幾何的gerbe における標準的バンドルgerbe 接続の曲率は、閉形式を除いて偶数エータ形式の次数2部分に等しい。
• この構成は、行列式バンドルgerbe、奇数次元閉多様体上のインデックスgerbe、および境界付き奇数次元多様体上のgerbe に一様に適用可能である。
• インデックスが0である偶数次元閉多様体に対して、関連するgerbe はMelrose-Piazza のCl(1)-スペクトルセクションのペアから生じる。
• 局所的自明化の選択に依存しない曲率の不変性は、局所的家族インデックス定理における偶数エータ形式の構造に起因する。
• この枠組みにより、多様な幾何的設定におけるバンドルgerbe の一貫したインデックス理論的解釈が可能になる。
• 結果として、偶数エータ形式の次数2成分が、このようなインデックスgerbe の普遍的曲率成分であることが示された。