[論文レビュー] The Universal Lie $\infty$-Algebroid of a Singular Foliation

Camille Laurent-Gengoux, Sylvain Lavau+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2018

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ひとこと要約

本稿は特異的foliationの普遍的Lie ∞-代数的構造を導入し、特異的葉とホロノミーを符号化する一意（ホモトピーを除く）高階代数的構造を提供する。コンパクト多様体上の特異的foliationに対して幾何的分解の存在を証明し、この普遍的構造が同じfoliationを誘導するすべての他のLie ∞-代数的構造を普遍的に因数分解することを示し、アンドロウリダキスとスカンドラスのホロノミー群相を回復するとともに、各葉における余接Lie ∞-代数を定義し、高次の括弧を新たな不変量として得る。

ABSTRACT

We consider singular foliations ${\cal F}$ as locally finitely generated $ {\mathscr O}$-submodules of $ {\mathscr O}$-derivations closed under the Lie bracket, where ${\mathscr O}$ is the ring of smooth, holomorphic, or real analytic functions on a correspondingly chosen manifold. We first collect and/or prove several results about the existence of resolutions of such an ${\cal F}$ in terms of sections of vector bundles. For example, these exist always on a compact smooth manifold $M$ if ${\cal F}$ admits real analytic generators. We show that every complex of vector bundles $(E_\bullet,\dd)$ over $M$ providing a resolution of a given singular foliation ${\cal F}$ in the above sense admits the definition of brackets on its sections such that it extends these data into a Lie $\infty$-algebroid. This Lie $\infty$-algebroid, including the chosen underlying resolution, is unique up to homotopy and, moreover, every other Lie $\infty$-algebroid inducing the given ${\cal F}$ or any of its sub-foliations factors through it in an up-to-homotopy unique manner. We therefore call it the universal Lie $\infty$-algebroid of ${\cal F}$. It encodes several aspects of the geometry of the leaves of ${\cal F}$. In particular, it permits us to recover the holonomy groupoid of Androulidakis and Skandalis. Moreover, each leaf carries an isotropy Lie $\infty$-algebra structure that is unique up to isomorphism. It extends a minimal isotropy Lie algebra, that can be associated to each leaf, by higher brackets, which give rise to additional invariants of the foliation. As a byproduct, we construct an example of a foliation ${\cal F}$ generated by $r$ vector fields for which we show by these techniques that, even locally, it cannot result from a Lie algebroid of the minimal rank $r$.

研究の動機と目的

• 特異的foliationに対して普遍的Lie ∞-代数的構造を確立し、Lie代数的構造を特異的状況に一般化すること。
• コンパクト多様体上に実解析的生成子をもつ特異的foliationに対して、幾何的分解（ベクトル束複体）の存在を証明すること。
• すべてのこのような分解が、ホモトピーを除いて一意にLie ∞-代数的構造に拡張可能であることを示すこと。
• この普遍的構造が、同じfoliation（またはその部分foliation）を誘導するすべての他のLie ∞-代数的構造を普遍的に因数分解することを示すこと。
• アンドロウリダキスとスカンドラスのホロノミー群相を回復し、各葉に高次の不変量としての余接Lie ∞-代数を定義すること。

提案手法

• Oを滑らか、正則的、または実解析的関数とするとき、局所的に有限生成なO部分加群としての特異的foliationを定義し、Lie括弧に関して閉じているものとする。
• コンパクト多様体M上でのこのようなfoliationの幾何的分解を、長さがdim M + 1以下のベクトル束複体(E•, d)として構成する。
• 各分解にセクション上の括弧を導入し、arity変形とコホホロジー的技法を用いてLie ∞-代数的構造に拡張する。
• Lie ∞-代数的構造のホモトピー論を用いて普遍性を証明する：Fまたはその部分foliationを誘導する任意のLie ∞-代数的構造は、ホモトピーを除いて普遍的構造を介して因数分解可能である。
• 普遍的Lie ∞-代数的構造におけるE-パスとE-パスのホモトピーを定義し、その基本群相を構成する。
• 普遍的Lie ∞-代数的構造の基本群相が、アンドロウリダキスとスカンドラスのホロノミー群相の普遍被覆に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな滑らかな多様体上に存在するすべての特異的foliationは、長さがdim M + 1以下の幾何的分解をもつか？
• RQ2 特異的foliationのすべての幾何的分解は、一意にLie ∞-代数的構造に拡張可能か？
• RQ3 同じ特異的foliationを誘導するすべてのLie ∞-代数的構造を普遍的に因数分解する一意（ホモトピーを除く）Lie ∞-代数的構造は存在するか？
• RQ4 特異的foliationのホロノミー群相は、その普遍的Lie ∞-代数的構造の基本群相から回復可能か？
• RQ5 特異的foliationの各葉における余接Lie ∞-代数構造から、どのような高次の不変量が生じるか？

主な発見

• コンパクトな滑らかな多様体上では、局所的に実解析的生成子をもつすべての特異的foliationは、長さがdim M + 1以下の幾何的分解をもつ。
• 特異的foliationFのすべての幾何的分解(E•, d)は、ホモトピーを除いて一意にLie ∞-代数的構造に拡張可能である。
• Fの普遍的Lie ∞-代数的構造は、ホモトピーを除いて一意であり、Fまたはその任意の部分foliationを誘導するすべての他のLie ∞-代数的構造を普遍的に因数分解する。
• 普遍的Lie ∞-代数的構造の基本群相は、アンドロウリダキスとスカンドラスのホロノミー群相の普遍被覆に同型である。
• foliationの各葉には、最小の余接Lie代数を高次の括弧で拡張する一意（同型を除いて）の余接Lie ∞-代数構造が自然に備わる。
• 本稿は、最小のランクrのLie代数的構造では局所的に得られないr個のベクトル場によって生成される特異的foliationを構成し、高次の代数的構造の必要性を示している。