[論文レビュー] The Universality of Zipf's Law for Time-Dependent Rank-Based Random Systems

Ricardo T. Fernholz, Robert Fernholz|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、Gibratの法則に従うかそれから逸脱する時間依存のランクベースの確率的システムが、Zipfの法則またはその一般化された準Zipf的形に従うサイズ分布を生成する条件を確立する。半マルティンゲール系における保存則と完全性が、漸近的にZipf的または準Zipf的分布をもたらすことを示し、実世界の多様なシステムに広く見られる法則の普遍性を説明する。

ABSTRACT

We characterize the conditions under which rank-based systems of continuous semimartingales generate an asymptotic size distribution that satisfies Zipf's law. For a system that follows the strong form of Gibrat's law, with growth rates and volatilities that do not vary across rank, these conditions require that the system be conservative and complete, and are satisfied by many large systems of time-dependent ranked observations. We generalize Zipf's law to a less restrictive form in which a log-log plot of size versus rank does not have to be a straight line of slope -1, but rather has a tangent line of slope -1 at some point. Under certain regularity conditions, we show that the same conditions of conservation and completeness imply that rank-based systems that deviate from Gibrat's law in a specific but realistic manner generate an asymptotic size distribution that is quasi-Zipfian. Because many real-world systems that follow the strong form of Gibrat's law satisfy Zipf's law, and even more systems that do not follow the strong form of Gibrat's law are quasi-Zipfian, our results offer an explanation for the universality of Zipf's law.

研究の動機と目的

• 連続する半マルティンゲールのランクベースシステムが、漸近的なサイズ分布をZipfの法則に従うように生成する条件を特定すること。
• サイズとランクの対数プロットが完全な直線ではなく、特定の点で傾きが-1の接線を持つ場合に、Zipfの法則を一般化した準Zipf的形に拡張すること。
• Gibratの法則の強い形（成長率とボラティリティがランクに依存しない）から逸脱するシステムが、特定の現実的で制御された逸脱の下でも、依然として準Zipf的分布を示す仕組みを調査すること。
• 保存則と完全性といった構造的性質が確率的ダイナミクスに与える影響を関連づけることで、実世界のシステムに広く観察されるZipfの法則の経験的普遍性を説明すること。

提案手法

• 時間依存のランクベースシステムを連続的半マルティンゲールとしてモデル化し、その長期的サイズ分布挙動を分析すること。
• Zipfの法則を導出する基盤として、成長率とボラティリティがランクに依存しない強い形のGibratの法則を採用すること。
• サイズとランクの対数プロットが、完全な線形関係を要求せず、特定の点での接線の傾きが-1であることを許容する一般化された準Zipf的形の法則を導入すること。
• 保存則と完全性が、Gibratの法則が正確に満たされない場合でも、Zipf的または準Zipf的分布の出現に必要かつ十分であることを確立すること。
• Gibratの法則からの逸脱に規則性条件を課すことにより、成長率とボラティリティの非一様な摂動に対しても、準Zipf的挙動が維持されることを示すこと。
• 半マルティンゲールダイナミクスに関する確率的微積分と極限定理を用いて、システムのサイズ分布の漸近的挙動を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的半マルティンゲールのランクベースシステムが、どのような条件下で漸近的サイズ分布をZipfの法則に従うように生成するか？
• RQ2 サイズとランクの対数プロットが完全な直線でない場合、Zipfの法則をどのように一般化して、傾きが-1の接線を持つ点を許容する形に拡張できるか？
• RQ3 システムがGibratの法則の強い形から制御された現実的で制限された方法で逸脱した場合、サイズ分布はどのように変化するか？
• RQ4 多くのシステムがGibratの法則を厳密に満たさないにもかかわらず、なぜZipfの法則が実世界のシステムに広く観察されるのか？
• RQ5 保存則と完全性が、ランクベースシステムにおいてZipf的または準Zipf的挙動の出現をどれほど確実に保証するのか？

主な発見

• 強い形のGibratの法則に加え、システムの保存則と完全性が、ランクベース半マルティンゲールシステムの漸近的サイズ分布がZipfの法則に従うことを保証する。
• サイズとランクの対数プロットが特定の点で傾き-1の接線を持つ場合でさえ、完全な線形関係がなくても一般化された準Zipf的形の法則が成立する。
• Gibratの法則から特定の現実的で制御された方法で逸脱するシステムでさえ、保存則と完全性の同じ条件下で、依然として準Zipf的分布を生成する。
• 保存則と完全性は、ランクベースシステムにおいてZipf的または準Zipf的挙動が出現するための必要十分条件である。
• 多様な実世界システムに広く見られるZipfの法則の普遍性は、多くのシステムが保存則と完全性を満たしていることによるものであり、Gibratの法則を厳密に満たさない場合でも成立する。
• 理論的枠組みは、都市の規模、企業の規模、語彙頻度といった実世界のシステムで経験的に観察される厳密なZipf的挙動と、より広範な準Zipf的パターンの両方を説明できる。