[論文レビュー] The Unpolarized and Polarized Single-Mass Three-Loop Heavy Flavor Operator Matrix Elements $A_{gg, Q}$ and $Delta A_{gg, Q}$

Jakob Ablinger, Arnd Behring+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Electron Spin Resonance Studies被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、1つの重いクォーク質量に対して、非極化および極化の場合の完全な3ループ質量のあるグルーオンのオペレータ行列要素 $A_{gg,Q}$ と $\Delta A_{gg,Q}$ が、高度な記号的および解析的技術を用いて計算された。結果はメリン $N$-空間および運動量分率 $x$-空間で表され、有限の二項係数和および逆二項係数和、平方根型アルファベットに関する反復積分、複素平面への解析接続を含む。これにより、3ループ階層における単一および二重質量の可変フレーバー数スキーム（VFNS）におけるグルーオン遷移行列要素が完全に完成する。

ABSTRACT

We calculate the gluonic massive operator matrix elements in the unpolarized and polarized cases, $A_{gg,Q}(x,μ^2)$ and $ΔA_{gg,Q}(x,μ^2)$, at three-loop order for a single mass. These quantities contribute to the matching of the gluon distribution in the variable flavor number scheme. The polarized operator matrix element is calculated in the Larin scheme. These operator matrix elements contain finite binomial and inverse binomial sums in Mellin $N$-space and iterated integrals over square root-valued alphabets in momentum fraction $x$-space. We derive the necessary analytic relations for the analytic continuation of these quantities from the even or odd Mellin moments into the complex plane, present analytic expressions in momentum fraction $x$-space and derive numerical results. The present results complete the gluon transition matrix elements both of the single- and double-mass variable flavor number scheme to three-loop order.

研究の動機と目的

• 1つの重いクォーク質量に対して、非極化および極化の場合の3ループ質量のあるオペレータ行列要素 $A_{gg,Q}$ と $\Delta A_{gg,Q}$ を計算すること。
• 可変フレーバー数スキーム（VFNS）において、3ループ階層でのグルーオン遷移行列要素を、単一および二重質量の両ケースで完成させること。
• メリン $N$-空間および運動量分率 $x$-空間における解析的表現を導出すること。これには、有限の二項係数和および逆二項係数和、平方根値をとるアルファベットに関する反復積分を含む。
• メリンモーメントを複素平面へ解析接続することにより、物理的応用に適した表現を得ること。

提案手法

• 計算には差分環理論に基づく記号的和分技術が用いられ、Sigma、EvaluateMultisums、SumProduction、HarmonicSums のパッケージが使用された。
• 一般化された超幾何関数、メリン＝バーンズ積分、常微分方程式、およびアルムキスタ・ツァイラーのアルゴリズムを組み合わせることで、問題をネストした和に還元した。
• 結果は、メリン $N$-空間における同期化された和積表現として表され、関数的関係を用いて解析接続が導出された。
• 2つの図式に対しては、$x$-空間で直接問題を解き、$x$-空間の結果から$N$-空間表現を再構築した。
• 特殊なマスタ積分基底に依存することなく、直接的な和分および積分技術に依拠した。
• 最終的な表現は、数値的検証および既知の2ループ結果、摂動的期待と照合することで検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一質量極限における質量のあるグルーオンのオペレータ行列要素 $A_{gg,Q}$ と $\Delta A_{gg,Q}$ の解析的3ループ表現は何か？
• RQ2 これらの OME のメリンモーメントを物理的応用のために複素平面へ解析接続することは可能か？
• RQ3 $x$-空間におけるこれらの OME の構造は、特に反復積分および有限の二項係数和の観点からどのように構成されているか？
• RQ4 これらの結果は、可変フレーバー数スキーム（VFNS）におけるグルーオン分布の3ループマッチングをどのように完全に完成させるか？
• RQ5 得られた解析的表現の数値的精度と効率は、物理的応用においてどの程度の水準にあるか？

主な発見

• 1つの重いクォーク質量に対して、非極化および極化の3ループオペレータ行列要素 $A_{gg,Q}$ と $\Delta A_{gg,Q}$ が計算され、単一および二重質量のVFNSにおけるグルーオン遷移行列要素が3ループ階層で完全に完成した。
• メリン $N$-空間における結果は、有限の二項係数和および逆二項係数和を含む同期化された和積表現として表され、複素 $N$-平面への解析接続が導出された。
• $x$-空間では、平方根値をとるアルファベットに関する反復積分として結果が与えられ、長さのためコンピュータで読み取り可能な補足ファイルに完全な構造が記載された。
• 結果の数値的評価は、高速かつ高精度な表現により実現され、高精度の物理的応用が可能になった。
• 結果は、3ループ階層における異常次元および OME の期待される構造を確認しており、異なる次数およびスキーム間での一貫性チェックがなされた。
• 計算は完全に解析的であり、マスタ積分基底に依存せず、専用のソフトウェアパッケージに実装された記号的和分および積分技術に依拠している。