[論文レビュー] The unramified inverse Galois problem and cohomology rings of totally imaginary number fields

Magnus Carlson, Tomer M. Schlank|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、エタールコホモロジーにおける高次ホモトピー的障害を導入し、完全な核をもつ埋め込み問題を解く。特に、無限個の完全に虚二次数体に対して、$\operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2))$ がその整数環の $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-コホモロジールーブを計算することで、未分岐なガロア群として実現可能でないことを証明する。

ABSTRACT

We employ methods from homotopy theory to define new obstructions to solutions of embedding problems. By using these novel obstructions we study embedding problems with non-solvable kernel. We apply these obstructions to study the unramified inverse Galois problem. That is, we show that our methods can be used to determine that certain groups cannot be realized as the Galois groups of unramified extensions of certain number fields. To demonstrate the power of our methods, we give an infinite family of totally imaginary quadratic number fields such that $ ext{Aut}( ext{PSL}(2,q^2))$ for $q$ an odd prime power, cannot be realized as an unramified Galois group over $K,$ but its maximal solvable quotient can. To prove this result, we determine the ring structure of the étale cohomology ring $H^*( ext{Spec }\mathcal{O}_K;\mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z})$ where $\mathcal{O}_K$ is the ring of integers of an arbitrary totally imaginary number field $K.$

研究の動機と目的

• プロフィニート群における埋め込み問題のための新しい障害を構築すること、特に古典的手法が失敗する非アーベル的完全核をもつ場合に焦点を当てる。
• これらの障害を未分岐逆ガロア問題に応用し、どの有限群が数体の未分岐拡大のガロア群として現れるかを特定すること。
• 完全に虚数体 $K$ に対して、$ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ の環構造を計算し、コホモロジック的障害を可能にする。
• 奇素数べき $q$ に対して、$\operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2))$ が特定の完全に虚数二次体上では未分岐ガロア群として実現可能でないことを示す。これは、その最大可解商が実現可能であるにもかかわらずである。

提案手法

• $ n \geq 2 $ に対して、$ H^{n+1}(\Gamma, H_n(P,A)) $ に値をとる高次障害 $ o_n^a $ を構成し、アーベル核に対する古典的 $ H^2 $ 障害を非アーベル核へ一般化する。
• 交叉モジュールを用いて、ホモトピー理論的道具を完全に避ける方法で $ n=2 $ の障害 $ o_2^a \in H^3(\Gamma, H_2(P,A)) $ を初等的に構成する。
• 完全に虚数体 $K$ の未分岐ガロア群 $ \Gamma_K^{ur} $ に障害理論を適用し、$ H^1(\Gamma_K^{ur}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $ の構造を利用する。
• 双対性 $ \operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}_X, \mathbb{G}_{m,X})^\sim $ を通じて、$ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ の環構造を、理想類群とノルム写像と関連付けて計算する。
• アーティンの再帰と類群上のノルム写像を用いて、$ x \cup x \cup y $ のようなカップ積がいつ消失するかを特定し、非自明なコホモロジークラスを検出する。
• ノルム写像 $ N_{L|K}: \operatorname{Cl}(L) \to \operatorname{Cl}(K) $ の像を用いた $ x \cup x \neq 0 $ の基準を確立し、コホモロジーと理想の算術とを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次コホモロジック的障害は、プロフィニートガロア群における完全核をもつ埋め込み問題の非可解性を検出できるか？
• RQ2 どの完全に虚数体 $K$ に対して、$\operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2))$ が $K$ 上で未分岐ガロア群として実現可能か？
• RQ3 任意の完全に虚数体 $K$ に対して、エタールコホモロジールーブ $ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ の構造は何か？
• RQ4 理想類群の算術的条件下で、$ H^3 $ 内のカップ積 $ x \cup x \cup y $ はいつ消失し、いつ非消失するか？
• RQ5 類群上のノルム写像 $ N_{L|K} $ の失敗は、$ H^2 $ 内の非自明なコホモロジークラスとどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、$ n \geq 2 $ に対して $ H^{n+1}(\Gamma, H_n(P,A)) $ に値をとる新しい高次障害 $ o_n^a $ の族を構成し、古典的 $ H^2 $ 障害を非アーベル核へ拡張する。
• 奇素数べき $q$ に対して、$\operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2))$ は、$ H^1(\Gamma_K^{ur}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $ かつ類群上のノルム像が真部分集合であるような任意の完全に虚二次数体 $K$ 上で、未分岐ガロア群として実現可能でないことを証明する。
• 完全に虚数体 $K$ に対して、$ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ の環構造は、$ \operatorname{Ext} $ 群との双対性とアーティン再帰を用いて完全に決定される。
• $ x \cup x \in H^2(\Gamma_K^{ur}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ が非ゼロであることは、$ \operatorname{Cl}(K) $ のある $ 2 $- torsion 理想類がノルム写像 $ N_{L|K}: \operatorname{Cl}(L) \to \operatorname{Cl}(K) $ の像に属さないことに同値である。
• $ x \cup x \cup y $ が消失するのは、$ \operatorname{div}(d)/2 $ がノルム写像の像にあるときであり、これは対応する理想類におけるアーティン記号の消失と同値である。
• $\operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2))$ の最大可解商は、同じ体上では未分岐ガロア群として実現可能であるため、障害は群の非可解部分に特有であることが示された。