[論文レビュー] The Use of a Pruned Modular Decomposition for Maximum Matching Algorithms on Some Graph Classes

Guillaume Ducoffe, Alexandru Popa|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、すべての剪定済み商部分グラフのサイズが有界であるようなグラフクラスにおいて、線形時間で最大マッチングを実行可能な、剪定付きモジュラ分解技術を導入する。1-頂点拡張（末端、反末端、双子、全域、孤立頂点など）を逐次削除することで、モジュラ分解構造を単純化し、モジュールに対して特化した剪定ルールを用いて効率的なマッチング計算を可能にする。本手法は、距離分離的グラフやモジュラ木幅が1のグラフなどに応用可能である。

ABSTRACT

We address the following general question: given a graph class C on which we can solve Maximum Matching in (quasi) linear time, does the same hold true for the class of graphs that can be modularly decomposed into C? As a way to answer this question for distance-hereditary graphs and some other superclasses of cographs, we study the combined effect of modular decomposition with a pruning process over the quotient subgraphs. We remove sequentially from all such subgraphs their so-called one-vertex extensions (i.e., pendant, anti-pendant, twin, universal and isolated vertices). Doing so, we obtain a "pruned modular decomposition", that can be computed in quasi linear time. Our main result is that if all the pruned quotient subgraphs have bounded order then a maximum matching can be computed in linear time. The latter result strictly extends a recent framework in (Coudert et al., SODA'18). Our work is the first to explain why the existence of some nice ordering over the modules of a graph, instead of just over its vertices, can help to speed up the computation of maximum matchings on some graph classes.

研究の動機と目的

• モジュラ分解によって単純な成分に分解されるグラフクラスにおいて、線形時間で最大マッチングを計算する課題に取り組む。
• モジュラ分解における商演算において最大マッチングが保存されないという制限を克服する。
• 既存の枠組みを拡張し、商部分グラフを単純化しながらマッチングに有用な構造的性質を保持する剪定プロセスを導入する。
• これまでに可能であった範囲を超えて、より広いグラフクラスにおいて線形時間で最大マッチングを実行可能な枠組みを構築する。特に、距離分離的グラフを含む。
• 頂点順序だけでなく、モジュール順序を用いることで、効率的な最大マッチングアルゴリズムを実現可能であることを示す。

提案手法

• 商部分グラフから1-頂点拡張（末端、反末端、双子、全域、孤立頂点）を繰り返し削除することで、剪定付きモジュラ分解を導入する。
• 隣接する1つまたはすべての頂点を除く1つのモジュールに接続する末端および反末端モジュールを対象とした2つの核心的な剪定ルールを設計する。
• 剪定付きモジュラ分解が O(m log n) 時間で計算可能であることを証明する。
• すべての剪定済み商部分グラフが有界なサイズを持つ場合、最大マッチングが線形時間で計算可能であることを示す。
• 末端および反末端モジュールの還元ルールを活用し、商構造内での増大パス計算を効率的にシミュレートする。
• サイクルに還元可能なユニサイクル商部分グラフに対して、モジュールペアの上でのエッジベースの動的計画法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商部分グラフのサイズが有界でない場合に、モジュラ分解枠組みを拡張して線形時間で最大マッチングを計算できるか？
• RQ2 1-頂点拡張の削除が、最大マッチングの効率的計算可能性を保持する条件は何か？
• RQ3 特に末端および反末端モジュールに対する剪定ルールを用いることで、複雑なモジュラ構造を持つグラフクラスにおいて線形時間で最大マッチングを達成できるか？
• RQ4 本フレームワークを用いて、距離分離的グラフやモジュラ木幅が1のグラフにおいて線形時間で最大マッチングを達成できるか？
• RQ5 効率的な最大マッチングアルゴリズムの実現において、モジュール順序と頂点順序の比較的利点は何か？

主な発見

• 剪定付きモジュラ分解は O(m log n) 時間で計算可能であり、最大マッチングのための効率的前処理を可能にする。
• すべての剪定済み商部分グラフが有界なサイズを持つ場合、最大マッチングは線形時間で計算可能であり、従来の知られていたクラスを超えて適用範囲を拡張する。
• 本フレームワークにより、距離分離的グラフやモジュラ木幅が1のグラフに対する、これまでに知られていた線形時間アルゴリズムが初めて得られた。
• 反末端モジュールに対する新しい還元ルールが導入され、驚くほど複雑であるが、重要な技術的貢献をなしている。
• サイクルに分解可能なモジュラ構造（ユニサイクル商部分グラフを含む）を有するグラフに対しても、線形時間で最大マッチングが可能である。
• 商グラフの各辺に対して、p（モジュール数）のオーダーで最大マッチングの基数が計算可能であり、モジュールペアの上での効率的な動的計画法を可能にする。