[論文レビュー] The vacuum electromagnetic fields and the Schrodinger picture

A. J. de Faria, H. M. França+2 more|ArXiv.org|Oct 17, 2005

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非相対論的電荷を帯びた調和振動子における放射反動および真空中の電磁界揺動（特にゼロ点場および熱場）が、シュレーディンガー図式にどのように一貫して組み込まれるかを調査する。ゼロ点揺動は、すでに運動量演算子 $ p = -i\hbar\partial/\partial x $ に動的に埋め込まれているため、ベクトルポテンシャルにそれらを明示的に加えると「二重数え上げ」が生じる。したがって、冗長性を避け、量子力学的一致性を保つために、シュレーディンガー方程式に直接放射反動および熱場のみを導入すべきであることを示している。

ABSTRACT

Several authors have used the Heisenberg picture to show that the atomic transitions, the stability of the ground state and the position-momentum commutation relation [x,p]=ih, can only be explained by introducing radiation reaction and vacuum electromagnetic fluctuation forces. Here we consider the simple case of a nonrelativistic charged harmonic oscillator, in one dimension, to investigate how to take into account the radiation reaction and vacuum fluctuation forces within the Schrodinger picture. We consider the effects of both classical zero-point and thermal electromagnetic vacuum fields. We show that the zero-point electromagnetic fluctuations are dynamically related to the momentum operator p=-ih d/dx used in the Schrodinger picture. Consequently, the introduction of the zero-point electromagnetic fields in the vector potential A_x(t) used in the Schrodinger equation, generates ``double counting'', as was shown recently by A.J. Faria et al. (Physics Letters A 305 (2002) 322). We explain, in details, how to avoid the ``double counting'' by introducing only the radiation reaction and the thermal electromagnetic fields into the Schrodinger equation.

研究の動機と目的

• 真空中の電磁界および放射反動が、量子力学のシュレーディンガー図式における役割を明確化すること。
• 真空中揺動および放射反動の文脈において、シュレーディンガー図式とハイゼンベルク図式の等価性に関する長年の問題を解決すること。
• シュレーディンガー方程式のベクトルポテンシャルにゼロ点場を明示的に含めることによる「二重数え上げ」問題を解消すること。
• ゼロ点放射の効果が、すでに標準的な運動量演算子 $ p = -i\hbar\partial/\partial x $ に符号化されているため、明示的な追加は冗長であることを示すこと。
• 量子力学的一致性を損なわずに、放射反動および熱場をシュレーディンガー方程式に一貫して組み込むための枠組みを提供すること。

提案手法

• 電気双極子近似を用いた1次元非相対論的電荷を帯びた調和振動子をモデル化する。
• ストキャスティック電磁力学（SED）を用い、ゼロ点および熱電磁界をそれぞれスペクトル密度 $ \hbar\omega/2 $ および $ \hbar\omega \coth(\hbar\omega/2kT)/2 $ を持つ古典的確率的場として表現する。
• シュレーディンガー図式においてローレンツ＝デイリック方程式を用いて放射反動を扱い、これを古典的減衰力として扱う。
• 放射反動および熱場の寄与を含むベクトルポテンシャル $ A_x(t) $ を持つ修正されたシュレーディンガー方程式を導出する。
• 時間に依存する波動関数およびその確率密度 $ |\psi(x,t)|^2 $ を計算し、特性関数を用いて確率的場の平均をとる。
• 恒等式 $ \langle e^{ikq_c(t)} \rangle = \exp\left[ -\frac{k^2}{2} \langle q_c(t)^2 \rangle \right] $ を用いて、平均確率分布を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放射反動および真空中の電磁界揺動を、どのようにしてシュレーディンガー図式に一貫して組み込むことができるか？
• RQ2 なぜシュレーディンガー方程式のベクトルポテンシャルにゼロ点場を明示的に加えると、二重数え上げが生じるのか？
• RQ3 真空中揺動の文脈において、運動量演算子 $ p = -i\hbar\partial/\partial x $ の動的起源は何か？
• RQ4 熱場およびゼロ点場は、シュレーディンガー図式における電荷を帯びた調和振動子の確率分布にどのように影響を与えるか？
• RQ5 シュレーディンガー形式において、放射反動が量子振動子の基底状態の安定性をどのように保っているか？

主な発見

• ゼロ点電磁界揺動は、すでに運動量演算子 $ p = -i\hbar\partial/\partial x $ に動的に符号化されているため、ベクトルポテンシャルに明示的に加えると二重数え上げが生じる。
• シュレーディンガー図式における調和振動子の確率分布は、$ P_T(x) = \sqrt{\frac{m\omega_0}{\pi\hbar\coth(\hbar\omega_0/2kT)}} \exp\left[ -\frac{m\omega_0 x^2}{\hbar\coth(\hbar\omega_0/2kT)} \right] $ として導出され、既知の量子力学的結果と一致する。
• シュレーディンガー方程式に放射反動および熱場を組み込むことで、量子力学的原則に反しない一貫した振動子の運動記述が得られる。
• 調和振動子の基底状態の安定性は、ゼロ点場が直接的に寄与しているのではなく、放射反動と真空中揺動のバランスによって維持されており、これらはすでに標準的記述に埋め込まれている。
• ハイゼンベルク図式では、運動量演算子の構造がゼロ点効果を内蔵しているため、二重数え上げを避けることができる。一方、シュレーディンガー図式では、明示的な場の追加を慎重に避ける必要がある。
• 導出された確率分布は、$ \coth $-依存因子によって熱的効果が正しく捉えられていることを確認しており、古典的確率的場と量子統計的挙動との間の接続を裏付けている。