[論文レビュー] The valence bond solid in quasicrystals

Anatol N. Kirillov, V. E. Korepin|ArXiv.org|Sep 11, 2009

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は任意のグラフ上に一般化された量子ヘイゼンベルク反強磁性体を構築し、スピンと交互に配置された数の連立一次方程式が非負整数解を持つ場合、価鍵固体（VBS）状態が一意の基底状態であることを証明する。ノルムおよび多点相関関数の正確な表現を、一般化超幾何関数、ギーゲンベル・多項式、調和多項式を用いて導出する。これにより、一次元鎖および准結晶に対する可換移動行列と球面上の積分恒等式を用いた応用が可能になる。

ABSTRACT

A generalized model of Heisenberg quantum antiferromagnet on an arbitrary graph is constructed so that the VBS is the unique ground state. The norm of the base state and equal time multi point correlation functions are computed in terms of generalized hyper geometric functions. For the one-dimensional periodic Heisenberg model we present a method of computing multi point correlation functions based on the study of a commuting family of transfer matrices. The connection of multi point correlators with Young tableaux and Gegenbauer polynomials is found.

研究の動機と目的

• 一般化ヘイゼンベルク反強磁性体が任意のグラフ上に存在する場合、価鍵固体（VBS）が一意の基底状態であるための条件を確立すること。
• 一般化超幾何関数および調和多項式を用いて、VBS波動関数のノルムおよび多点相関関数の正確な表現を導出すること。
• 一次元周期的鎖および準結晶へ形式を拡張し、可換移動行列を用いて相関関数を計算する方法を可能にすること。
• 球面上の積分恒等式を用いて、相関関数とヤン・テーブルックス、ギーゲンベル・多項式を結びつけること。
• グラフ上における古典的および量子的 O(m)-ヘイゼンベルク模型の統計和および相関関数を計算する一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 頂点におけるスピン演算子と辺における射影演算子を用いて、任意のグラフ Γ 上に一般化ヘイゼンベルクハミルトニアンを定式化する。
• 辺に関連する交互に配置された数 Mkl を導入し、インシデント行列 I を用いて基底状態の一意性を示すための連立一次方程式 2S = I·M を定義する。
• 付録Bの定理Bを適用し、球面積分を用いて相関関数の母関数の再帰的関係を導出する。
• ギーゲンベル・多項式の多変数一般化としての調和多項式 Λ^{A_n} (n) を用いて相関関数を計算する。
• Gegenbauer多項式および一般化超幾何級数への展開を用いて、Gegenbauer多項式および一般化超幾何級数への展開を用いて、多点相関を評価する積分作用素 K_{M1,M2} を用いる。
• 一次元鎖では可換移動行列を用いて相関関数を計算する代替手法を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフおよびスピン配置がどのような条件下で、一般化ヘイゼンベルク反強磁性体のVBS状態が一意の基底状態となるか。
• RQ2 任意のグラフ上でのVBS波動関数のノルムおよび多点相関関数を正確に計算する方法は何か。
• RQ3 O(m)-ヘイゼンベルク模型の相関関数とヤン・テーブルックス、またはギーゲンベル・多項式との関係は何か。
• RQ4 一次元鎖および準結晶における相関関数はどのように異なり、可換移動行列はその中でどのような役割を果たすか。
• RQ5 一般化超幾何関数を含む積分恒等式を用いて、相関関数の母関数を導出できるか。

主な発見

• VBSが一意の基底状態であるための必要十分条件は、連立一次方程式 2S = I·M が非負整数解 Mkl を持つことである。可解性はグラフの二部グラフ性およびスピン総和の条件に依存する。
• 二部グラフの場合、方程式は整数解を持つための必要十分条件として ∑_{a∈A} sa = ∑_{b∈B} sb を満たす必要がある。非二部グラフの場合、∑_{l∈Γ} sl ∈ ℤ が成り立つ必要がある。
• VBS波動関数のノルムおよび相関関数は、一般化超幾何関数および球面 S^{m-1} 上の積分を用いて表現される。
• 完全グラフ上でのO(m)-模型の相関関数は、一般化超幾何級数 F^{(p)} およびスピンベクトルの内積の積を含む複雑な式で与えられる。
• 一次元鎖では、可換移動行列を用いた手法が相関関数を計算する代替方法を提供し、積分的手法と整合性を確認する。
• 積分恒等式 (B.20) は二点相関関数の評価を一般化し、再帰的分解を用いて高次相関関数の計算を可能にする。