[論文レビュー] The values of zeta functions composed by the Hurwitz and periodic zeta functions at integers

Takashi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2020

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ひとこと要約

本稿は、整数におけるHurwitzおよび周期的ゼータ関数から構成されるゼータ関数の代数的および算術的性質を調査する。特定の組み合わせが負の整数および正の偶数・奇数整数において、有理数、$2\pi/q$ の三角関数の多項式、または $\exp(2\pi i a)$ の有理関数（すべて有理係数）を生成することを証明する。主な結果として、$Z(s, |a|)$ が定常自己相似ガウス過程のスペクトル密度と関連することを示す。

ABSTRACT

For $s \in {\mathbb{C}}$ and $0 < a <1$, let $ζ(s,a)$ and ${ m{Li}}_s (e^{2πia})$ be the Hurwitz and periodic zeta functions, repectively. For $0 < a \le 1/2$, put $Z(s,a) := ζ(s,a) + ζ(s,1-a)$, $P(s,a) := { m{Li}}_s (e^{2πia}) + { m{Li}}_s (e^{2πi(1-a)})$, $Y(s,a) := ζ(s,a) - ζ(s,1-a)$ and $O(s,a):= -i \bigl( { m{Li}}_s (e^{2πia}) - { m{Li}}_s (e^{2πi(1-a)}) \bigr)$. Let $n \ge 0$ be an integer and $b := r/q$, where $q>r>0$ are coprime integers. In this paper, we prove that the values $Z(-n,b)$, $π^{-2n-2} P(2n+2,b)$, $Y(-n,b)$ and $π^{-2n-1} O(2n+1,b)$ are rational numbers, in addition, $π^{-2n-2} Z(2n+2,b)$, $P(-n,b)$, $π^{-2n-1} Y(2n+1,b)$ and $O(-n,b)$ are polynomials of $\cos (2π/q)$ and $\sin (2π/q)$ with rational coefficients. Furthermore, we show that $Z(-n,a)$, $π^{-2n-2} P(2n+2,a)$, $Y(-n,a)$ and $π^{-2n-1} O(2n+1,a)$ are polynomials of $0

研究の動機と目的

• Hurwitzおよび周期的ゼータ関数からなるゼータ関数の特殊値の代数的性質を特定すること。
• $Z(s,a)$、$P(s,a)$、$Y(s,a)$、$O(s,a)$ の負の整数および正の整数における算術的構造を特徴づけること。
• 三角関数および有理係数をもつ指数和を用いて、これらの値の明示的な代数的表現を確立すること。
• 定常自己相似ガウス過程のスペクトル密度が $Z(s, |a|)$ とどのように関連するかを示すこと。

提案手法

• 対称および反対称な組み合わせを定義する：$Z(s,a) = \zeta(s,a) + \zeta(s,1-a)$、$P(s,a) = \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + \text{Li}_s(e^{2\pi i (1-a)})$、$Y(s,a) = \zeta(s,a) - \zeta(s,1-a)$、$O(s,a) = -i(\text{Li}_s(e^{2\pi i a}) - \text{Li}_s(e^{2\pi i (1-a)}))$。
• ベルヌーイ数および第二種スターリング数の既知の特殊値を用いて、$\zeta(-n,a)$ および $\text{Li}_{-n}(e^{2\pi i a})$ を評価する。
• 関数等式および解析接続を適用して、結果を正の整数へ拡張する。
• 代数的数論および三角恒等式を用いて、$\cos(2\pi/q)$、$\sin(2\pi/q)$、$\exp(2\pi i a)$ を用いて値を表現する。
• 有理数 $b = r/q$ に対して、$\pi^{-2n-2}Z(2n+2,b)$、$P(-n,b)$、$\pi^{-2n-1}Y(2n+1,b)$、$O(-n,b)$ が有理係数をもつ多項式または有理関数であることを示す。
• 恒等式 $\sum_{n \in \mathbb{Z}} |n + \alpha|^{-s} = Z(s, |\alpha|)$ を用いて、$Z(s,a)$ が定常自己相似ガウス分布のスペクトル密度として現れることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数 $b = r/q$ に対して、$Z(-n,b)$、$P(2n+2,b)$、$Y(-n,b)$、$O(2n+1,b)$ の代数的性質は何か？
• RQ2 $a \in (0,1)$ に対して、$\pi^{-2n-2}Z(2n+2,a)$、$P(-n,a)$、$\pi^{-2n-1}Y(2n+1,a)$、$O(-n,a)$ はどのように依存するか？
• RQ3 $P(s,a) \equiv 0$ がすべての $0 < a < 1/2$ に対して成り立つための条件は何か？
• RQ4 定常自己相似ガウス過程のスペクトル密度は $Z(s,|a|)$ を用いて表現可能か？

主な発見

• $0 < a \leq 1/2$ および非負整数 $n$ に対して、$Z(-n,a)$、$\pi^{-2n-2}P(2n+2,a)$、$Y(-n,a)$、$\pi^{-2n-1}O(2n+1,a)$ は有理係数をもつ $a$ に関する多項式である。
• 互いに素な整数 $q > r \geq 1$ をもつ有理数 $b = r/q$ に対して、$Z(-n,b)$、$\pi^{-2n-2}P(2n+2,b)$、$Y(-n,b)$、$\pi^{-2n-1}O(2n+1,b)$ は有理数である。
• $\pi^{-2n-2}Z(2n+2,b)$、$P(-n,b)$、$\pi^{-2n-1}Y(2n+1,b)$、$O(-n,b)$ は有理係数をもつ $\cos(2\pi/q)$ および $\sin(2\pi/q)$ の多項式である。
• $a \in (0,1)$ に対して、$\pi^{-2n-2}Z(2n+2,a)$、$P(-n,a)$、$\pi^{-2n-1}Y(2n+1,a)$、$O(-n,a)$ は有理係数をもつ $\exp(2\pi i a)$ の有理関数である。
• $P(s,a) \equiv 0$ がすべての $0 < a < 1/2$ に対して成り立つのは、$s$ が負の偶数整数である場合に限る。
• 定常自己相似ガウス過程のスペクトル密度は $\rho_\lambda(\alpha) = C|e^{2\pi i \alpha} - 1|^2 Z(\lambda, |\alpha|)$ として与えられ、$Z(s, |a|)$ がこのような過程のスペクトル密度であることが確認された。