[論文レビュー] The vanishing viscosity limit for 2D Navier-Stokes in a rough domain

David Gérard‐Varet, Christophe Lacave+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 41被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、振幅 ε¹⁺ᵃ および波長 ε で速やかに振動する境界を有する粗い領域における2次元ナビエ＝ストークス方程式の、ナビエスリップ境界条件下での消失粘性極限を確立する。境界の粗さを考慮した境界層近似を構築し、ナビエ＝ストークス方程式の下での安定性を証明することで、ν → 0 および ε → 0 の両方の極限において、平坦領域でのオイラー解への収束を示している。この結果は α > 0 かつ ν が ε より十分に小さい場合に成立する。

ABSTRACT

We study the high Reynolds number limit of a viscous fluid in the presence of a rough boundary. We consider the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations with Navier slip boundary condition, in a domain whose boundaries exhibit fast oscillations in the form $x_2 = \varepsilon^{1+\alpha} \eta(x_1/\varepsilon)$, $\alpha > 0$. Under suitable conditions on the oscillating parameter $\varepsilon$ and the viscosity $ u$, we show that solutions of the Navier-Stokes system converge to solutions of the Euler system in the vanishing limit of both $ u$ and $\varepsilon$. The main issue is that the curvature of the boundary is unbounded as $\varepsilon ightarrow 0$, which precludes the use of standard methods to obtain the inviscid limit. Our approach is to first construct an accurate boundary layer approximation to the Euler solution in the rough domain, and then to derive stability estimates for this approximation under the Navier-Stokes evolution.

研究の動機と目的

• 境界が急速に振動する領域における、粘性非圧縮流の同時漸近的極限 ν → 0 および ε → 0 を理解すること。
• ε → 0 のとき境界の曲率が無限大に発散するため、通常の非粘性極限手法が粗い領域では無効となるという課題に対処すること。
• 粗さの影響をオイラー解に反映させる境界層補正項を構築し、ナビエ＝ストークス方程式の下での安定性を証明すること。
• α > 0 および ν ≪ ε の条件下で、ナビエ＝ストークス解が平坦領域におけるオイラー解に収束することを確立すること。
• 粗い領域における高曲率および無限大の渦度に起因する不安定性を、精密な近似とエネルギー推定を用いて克服すること。

提案手法

• 粗い領域 Ωε におけるオイラー方程式の近似解を構築し、その中に振幅 εᵃ の非粘性境界層補正項 U(t, x₁, x/ε) を含める。
• 粗い領域 Ωε を平坦領域 T × R⁺ に写像する座標変換を用い、変形された境界を持つ摂動領域への問題の変換を行う。
• 重み付きソボレフ空間および対数的推定を用いて、変換された領域上での発散なしベクトル場に対する楕円型推定を導出。これにより、速度場の L∞ 範囲が、渇きの H² 範囲と L² 範囲による制御が可能になる。
• エネルギー法と渇きの制御を用いて、ナビエ＝ストークス方程式の下での安定性推定を導出し、摂動 vν = uν,ε − uapp,ν の L² および H¹ 範囲を制御する。
• 滑らかな近似の時間微分に基づくブートストラップ法を用い、ナビエ＝ストークス解の全域的存在および滑らかさを保証する。
• 渇きの最大原理とナビエ境界条件の構造を用いて、ων,ε を制御し、非粘性極限における爆発を防ぐ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ε → 0 のとき境界の曲率が無限大に発散する粗い領域において、ナビエスリップ境界条件を満たす2次元ナビエ＝ストークス方程式の消失粘性極限を確立できるか？
• RQ2 振幅 ε¹⁺ᵃ および波長 ε を有する粗さの存在が、ナビエ＝ストークス解がオイラー解に収束する過程にどのように影響を与えるか？
• RQ3 粗さに起因するスリップ効果を反映させるために、オイラー近似に必要な境界層補正項の適切な形は何か？
• RQ4 ν と ε の間にどのような条件下で、ナビエ＝ストークス解が平坦領域におけるオイラー解に収束するか？
• RQ5 無限大の曲率および高渦度を伴う状況下でも、境界層近似の安定性推定を導出できるか？

主な発見

• α > 0 かつ ν が ε より十分に小さい場合、粗い領域 Ωε における2次元ナビエ＝ストークス方程式の解は、ν → 0 および ε → 0 の極限において、平坦領域 Ω₀ におけるオイラー解に収束する。
• 境界の曲率は εᵃ⁻¹|η′′| のオーダーであり、α < 1 のとき ε → 0 で無限大に発散するため、標準的な非粘性極限手法は無効になる。
• 粗さの効果をオイラー近似に反映させるために、形 εᵃU(t, x₁, x/ε) の境界層補正項を構築し、U は周期的セル上で定義された補正方程式を満たす。
• 速度場の L∞ 範囲は、H² 範囲および L² 範囲の渇きを用いた対数的推定により制御され、ε および α に明示的な依存関係を有する。
• 摂動 vν = uν,ε − uapp,ν の安定性推定には、ε² および εᵃ‖v‖L∞ ln(2 + ε⁻³‖v‖H³) のような項が含まれるが、仮定された条件下でこれらは制御可能である。
• プランドルト型展開の不安定性を回避するため、精密な境界層構造と渇きに基づく制御を用いることで、無限大の曲率が存在する場合でも収束が可能になる。