[論文レビュー] The variance of the number of prime polynomials in short intervals and in residue classes

Jonathan P. Keating, Zeév Rudnick|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Analytic Number Theory Research被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、素数論における2つの主要な予想の関数体版を解決する。すなわち、短い区間内の素数の分散（Goldston-Montgomery）および算術級数内の素数の分散（Hooley）の関数体版である。N. Katzの等分布結果を用いて、短い区間および剰余類における素数多項式の分散が、数体における予想された挙動と一致することを証明し、関数体設定においてHooleyの予想が非常に小さな法に対しても成り立つことを確認した。

ABSTRACT

We resolve a function field version of two conjectures concerning the variance of the number of primes in short intervals (Goldston and Montgomery) and in arithmetic progressions (Hooley). A crucial ingredient in our work are recent equidistribution results of N. Katz.

研究の動機と目的

• 短い区間における素数の分散に関するGoldston-Montgomery予想の関数体版を確立すること。
• 算術級数における素数の分散に関するHooley予想の関数体版を解決すること。
• 短い区間および剰余類における分散が、数体の予想による漸近的予測と一致することを示すこと。
• N. Katzの最近の等分布結果を活用して、素数多項式の分散に対する正確な漸近的評価を導出すること。
• 数体の場合には懐疑的であったが、関数体設定においてもHooleyの予想が非常に小さな法に対しても成り立つことを示すこと。

提案手法

• 𝔽_q[T] 上の関数体設定を採用し、次数𝑛のモニック多項式とそのvon Mangoldt関数の和を研究する。
• G(n;Q) を、gcd(f,Q)=1 かつ f≡A mod Q を満たす多項式𝑓に対するΛ(f) の二乗偏差の和として定義する。
• 𝑓≡𝑔 mod Q かつ gcd(f,Q)=1 を満たす相異なるモニック多項式𝑓,𝑔 の対に関する和を含む、分散の明示的公式を用いる。
• ゼータ関数とオイラー積を用いた母関数のアプローチにより、∑_J 𝔖(JQ)u^{deg J} の和を計算する。ここで𝔖は素数分布に関連する局所因子である。
• コーシーの積分公式を用いて母関数の係数を抽出し、𝐽の和に対する漸近的推定を得る。
• 関数体におけるフロベニウス共轭類の等分布定理（N. Katz）を活用して、分散の主要漸近的挙動を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上での短い区間における素数多項式の数の分散の漸近的挙動は何か？
• RQ2 特に小さな法に対して、関数体設定における算術級数における素数多項式の分散はどのように振る舞うか？
• RQ3 Goldston-MontgomeryおよびHooley予想の関数体版は、どの程度成り立つか？
• RQ4 Katzの等分布結果を用いて、素数多項式分布における分散の正確な漸近的評価を導出できるか？
• RQ5 関数体設定において、Q < X^{1/2} の場合でも、剰余類における分散が X log Q の形と一致するか？

主な発見

• 関数体上での短い区間における素数多項式の数の分散は、Goldston-Montgomery予想と一致し、H が X^δ < H < X^{1−δ} の範囲にあるとき、分散 ∼ H(log X − log H) となる。
• 算術級数においては、G(n;Q) ∼ q^n (deg Q − |Q|/Φ(Q)) が q → ∞ のとき成り立つ。
• q → ∞ で deg Q ≤ n+1 を固定した極限において、分散は関数体版の定理2.2と漸近的に一致し、既知の結果と整合的であることを確認した。
• q を固定したまま deg Q → ∞ とする極限において、分散は G(n;Q) ∼ q^n deg Q と振る舞い、関数体設定においてHooleyの予想が成立することを確認した。
• 分散の2次項 −1/(q−1) は数体の場合とは異なり、関数体では特有の算術的構造が現れていることを示唆している。
• 結果として、Hooleyの予想 G(X,Q) ∼ X log Q が、X^ε にまで小さくなるQに対しても関数体モデルで成り立つことが確認され、数体の場合に予想されたよりも広範に成り立つ可能性を示唆している。