[論文レビュー] The variational principle for dust shells

V. D. Gladush|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2000

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論における薄いダスト殻に対して、真空領域のYork-Gibbons-Hawking作用素とダスト物質および境界条件の境界項を組み合わせることで、変分原理を定式化する。自然境界条件が得られ、それらが制約として機能し、球対称系において作用の完全な縮約を可能にし、内部観測者と外部観測者の視点から記述される二つの同等の有効作用が得られる。これにより重力自由度が排除され、等長性条件を介してハミルトニアンの制約が確立される。

ABSTRACT

Variational principles for thin dust shells are considered in Newtonian theory of gravity, and for charged shells in Special Relativity. We propose the variational principle for thin massive dust shells in General Relativity and study the results following from it. The configuration, being considered, can be thought of as the two vacuum regions with the dust shell as the boundary surface between them. The full action of the system we take as the sum of actions in the form of the York-Gibbons-Hawking type for both regions and of the boundary term containing the action of the dust matter and of the corresponding matching surface term. The variational principle is compatible with the boundary-value problem of the Euler-Lagrange equations for either regions of the configuration, and leads to ”natural boundary conditions ” on the shell. These conditions can be considered as the constraints, and, together with the gravitational field equations, are used for elimination of the gravitational degrees of freedom. The full reduction of the action are performed here for spherically-symmetric systems. By transforming the variational formula it is shown that the obtained action with constraints is equivalent to the two variants of the effective action without constraints for a particle with self-action moving in the external gravitational field. One of these variants describes the shell from the interior resting observer’s point of view, another from the exterior one. The conditions of isometry of the exterior and interior sides of the shell lead to the Hamiltonian constraints. I.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における薄い質量のあるダスト殻の整合的な変分原理を構築すること。
• 殻をはさんで変分方程式の境界値問題を扱うために、自然境界条件を導入すること。
• 変分枠組みから得られる制約を用いて、重力自由度を排除すること。
• 外部重力場内での自己相互作用を有する粒子としての有効作用への作用の完全な縮約を達成すること。
• 殻の内部と外部の間の等長性条件を用いてハミルトニアンの制約を確立すること。

提案手法

• 二つの真空領域のYork-Gibbons-Hawking作用素とダスト物質および一致条件の境界項の和として、全作用を定式化する。
• 変分原理を適用して、殻上での自然境界条件を導出し、それらを制約として機能させる。
• 球対称の場合に、対称性と幾何的制約を用いて作用の完全な縮約を実行する。
• 変分式を変換することで、制約付き作用と二つの有効な非制約作用の等価性を示す。
• 二つの同等の有効作用を導出する：一つは内部観測者のフレームから、もう一つは外部観測者のフレームから。
• 殻の内部と外部の間の等長性条件を用いてハミルトニアンの制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における薄いダスト殻に対して、適切な境界条件を備えた整合的な変分原理をどのように定式化できるか？
• RQ2 変分原理から、殻の世界面に自然に生じる制約は何か？
• RQ3 球対称系において、これらの制約を用いて重力自由度をどのように排除できるか？
• RQ4 縮約された作用の物理的同等性は何か？ それは自己相互作用を有する有効粒子作用としてどのように現れるか？
• RQ5 殻の内部と外部の間の等長性条件は、どのようにハミルトニアンの制約を導くか？

主な発見

• 変分原理により、ダスト殻上に自然境界条件が得られ、それらが系の制約として機能する。
• これらの制約と重力場方程式を組み合わせることで、球対称配置において重力自由度を完全に排除できる。
• 全作用は、制約なしの二つの同等の有効作用に縮約され、それらは外部重力場内での自己相互作用を有する粒子としての殻を記述する。
• 一つの有効作用は内部観測者のフレームから記述され、もう一つは外部観測者のフレームから記述される。
• 殻の内部と外部の等長性からハミルトニアンの制約が導かれ、境界を越えた力学の整合性が保証される。
• 二つの有効作用の等価性により、異なる参照フレーム間での変分定式化の物理的整合性が確認される。