[論文レビュー] The variety of characters in PSL(2,C)

Michael Heusener, Joan Porti|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、PSL(2,C) への表現の表現多様体の代数的幾何を調査し、同型類による商空間と特性多様体との間に自然な全単射を確立する。任意の n に対して、PSL(2,C) に値をとる表現の特性多様体が少なくとも n 個の非可約1次元成分を持ち、それらが SL(2,C) に引き上げられないような、境界がトーラスである3次元多様体が存在することを証明する。また、ランク ≥3 の自由群の特性多様体の特異点集合を、正確に Ad-可約な特性の集合として同定する。

ABSTRACT

We study some basic properties of the variety of characters in PSL(2,C) of a finitely generated group. In particular we give an interpretation of its points as characters of representations. We construct 3-manifolds whose variety of characters has arbitrarily many components that do not lift to SL(2,C). We also study the singular locus of the variety of characters of a free group.

研究の動機と目的

• 有限生成群の PSL(2,C)-特性多様体の基礎的理解を確立すること。
• 特性多様体の点が表現の特性としてどのように幾何学的・代数的に解釈できるかを明確にすること。
• PSL(2,C) に値をとる表現の特性多様体が任意に多くの非可約成分を持ち、それらが SL(2,C) に引き上げられないような3次元多様体を構成すること。
• ランク ≥3 の自由群の特性多様体の特異点集合を同定すること。
• PSL(2,C) からの表現の SL(2,C) への引き上げ問題を、特に Ad-可約性と関連して分析すること。

提案手法

• 不変式論を用いて、表現多様体 R(Γ) と PSL(2,C) の代数的商 R(Γ)//PSL(2,C) として特性多様体 X(Γ) を定義する。
• トレース写像を介して、X(Γ) と χρ(γ) = tr²(ρ(γ)) で与えられる特性の集合との間に自然な全単射を確立する。
• 特に H¹(Fₙ, Ad∘ρ) を用いたコhomological 技法を用いて、X(Γ) の接空間および特異点を分析する。
• sl₂(C) を h₀ ⊕ (h₊ ⊕ h₋) に分解することにより、Stabρ がコホモロジーに作用する様子を研究する。
• Stabρ の H¹(Fₙ, Ad∘ρ) への作用を分析し、商が特異になる条件を同定する。
• PSL(2,C) ≅ SO₃(C) であることに着目し、表現空間の代数的構造と直交幾何を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PSL(2,C)-特性多様体 X(Γ) の点の正確な幾何的解釈は何か？
• RQ2 どの表現に対して X(Γ) の特性が SL(2,C) に引き上げられないのか？また、それらの成分は最大でいくつ存在しうるか？
• RQ3 ランク n ≥ 3 の自由群 Fₙ に対して、特性多様体 X(Fₙ) の特異点集合の構造は何か？
• RQ4 表現の Ad-可約性が、特性多様体における対応する点の滑らかさに与える影響は何か？
• RQ5 境界がトーラスである3次元多様体で、その特性多様体が任意に多くの非可約成分を持ち、それらが SL(2,C) に引き上げられないようなものを構成可能か？

主な発見

• PSL(2,C)-特性多様体 X(Γ) の点と、ρ: Γ → PSL(2,C) なる表現の特性 χρ(γ) = tr²(ρ(γ)) との間に自然な全単射が存在する。
• 任意の正の整数 n に対して、コンパクトで非可約な3次元多様体 M で、境界がトーラスであり、X(M) が少なくとも n 個の非可約1次元成分を持ち、それらの特性が SL(2,C) に引き上げられないようなものが存在する。
• ランク n ≥ 3 の自由群 Fₙ に対して、X(Fₙ) の特異点集合は、正確に Ad-可約な特性の集合である。
• 非可約だが Ad-可約な表現に対応する点では、コホモロジーへの非自明な安定化群の作用が生じ、その結果として X(Fₙ) は特異点を有する。
• 特性 χρ ∈ X(Fₙ) におけるZariski接空間の次元が 3n−3 を超えるのは、ρ が Ad-可約である場合に限る。これは特異点を示唆する。
• n ≥ 3 のとき、X(Fₙ, SL(2,C)) の特異部分は、正確に可約な特性の集合であり、PSL(2,C) の場合と同様の構造を示す。