[論文レビュー] The Verlinde formula for PGL(p)

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Sep 24, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、p が素数であるとき、リーマン面上の主 PGL(p)-バンドルのラインバンドルの切断空間の次元に関する、ヴェルリンデ型の公式を導出する。幾何的不変理論と表現論を用いて、単純連結でない群（例：PGL(p)）に対しても適用可能な、単純鎖型群の古典的ヴェルリンデ公式に類似した閉形式の公式を確立する。

ABSTRACT

Let G be a complex semi-simple group, X a Riemann surface, M_G the moduli space of principal G-bundles on X. When G is simply-connected, there exists a closed formula expressing the dimension of the space H^0(M_G,L) for any line bundle L on M_G (this is usually called among mathematicians, somewhat incorrectly, the "Verlinde formula").In this paper we find an analogous formula for G = PGL(r) where r is prime.

研究の動機と目的

• 単純連結な半単純群に対して既知であったヴェルリンデ公式を、p が素数であるときの PGL(p) にまで拡張すること。
• リーマン面上の主 PGL(p)-バンドルのモジュライ空間上のラインバンドルの正則切断空間の次元を計算すること。
• 特に r が素数であるとき、PGL(r) のような非単純連結群に対して一般のヴェルリンデ公式が欠如している問題を解決すること。
• 幾何学的および表現論的技法を用いて、これらの次元に対する閉形式の表現を確立すること。
• 古典的ヴェルリンデ公式に類似した正確な公式を、p が素数である PGL(p) に対して有効にすること。

提案手法

• コンパクトなリーマン面 X 上の主 G-バンドルのモジュライ空間 M_G（G = PGL(p)）を用いる。
• 幾何的不変理論（GIT）を用いて、PGL(p)-バンドルのモジュライ空間を構成・解析する。
• 中心拡大を介した PGL(p) と SL(p) 間の関係に依拠し、PGL(p) = SL(p)/μ_p であることに着目する。
• アフィンリーヒューベルト代数の表現論とウェイのキャラクター公式を用いて、切断空間の次元を計算する。
• モジュライ空間上のリーマン・ロッホ定理を適用し、オイラー標跡と H^0(M_G, L) の次元を関係付ける。
• 商写像を用いて、M_G 上のラインバンドルの構造を SL(p) のモジュライ空間上のそれと比較することで、公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン面上の主 PGL(p)-バンドルのモジュライ空間上のラインバンドルの正則切断空間の次元は何か？
• RQ2 p が素数であるときの PGL(p) に対するヴェルリンデ公式は、SL(p) のような単純連結群のそれとどのように異なるか？
• RQ3 p が素数であるとき、G = PGL(p) に対して H^0(M_G, L) の次元について閉形式の公式を導出できるか？
• RQ4 PGL(p) の非単純連結性は、モジュライ空間およびラインバンドルの切断の構造にどのような役割を果たすか？
• RQ5 この文脈において、PGL(p) の表現論はモジュライ空間の幾何とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、リーマン面上の主 PGL(p)-バンドルのモジュライ空間 M_G 上の任意のラインバンドル L に対して、H^0(M_G, L) の次元に関する閉形式の公式を導出する。
• この公式は、古典的ヴェルリンデ公式に類似しているが、p が素数である場合の G = PGL(p) に適応されたものである。
• この結果は、SL(p) → PGL(p) の商写像を介して、PGL(p)-バンドルのモジュライ空間と SL(p)-バンドルのモジュライ空間を関係づけることで得られる。
• 次元の公式は、ラインバンドルのレベルとワイル群の共轭類に依存しており、PGL(p) の構造を反映している。
• この公式は p が素数である場合にのみ有効であり、p が素数であるときの μ_p の特定の性質に依存しているためである。
• 導出過程により、ヴェルリンデ公式が単純連結群に限らず、非単純連結な再帰的群（特に PGL(p)）に対しても拡張可能であることが確認され、非単純連結な再帰的群の重要な例を提供する。