[論文レビュー] The *-Vertex-Reinforced Jump Process

Christophe Sabot, Pierre Tarrès|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可逆な連続時間版のVRJPである$\star$-VRJP（$\star$-頂点強化ジャンプ過程）を導入する。このプロセスは頂点に$\star$-対合を導入することで非対称な強化をモデル化する。部分的交換可能性に欠けるものの、初期局所時間に確率的乱数を導入することで、$\star$-VRJPはヤグロム可逆なマコフジャンプ過程の混合として表現可能であり、非確率的バージョンは条件付き過程の混合として表現可能である。これにより、プロセスの構造的性質と長期的挙動の理解が深まる。

ABSTRACT

We investigate the non-reversible generalization of the Vertex-Reinforced Jump Process (VRJP), called the *-Vertex-Reinforced Jump Process (*-VRJP) and introduced by Bacallado, Sabot and Tarr\\`es (2020). It can be seen as the continuous-time counterpart to the *-Edge-Reinforced Random Walk (*-ERRW), see Bacallado (2011) and Bacallado, Sabot and Tarr\\`es (2020), which is itself a non-reversible, and in fact Yaglom reversible, generalization of the original ERRW introduced by Coppersmith and Diaconis (1986). In contrast to the classical VRJP, the *-VRJP is not exchangeable after time-change, which leads to several difficulties and new phenomena. Firstly, we show that with some appropriate randomization of the initial local time, it becomes partially exchangeable after time-change. We provide a representation of the "randomized" *-VRJP as a mixture of Yaglom reversible Markov jump processes with an explicit mixing measure, and we prove that the non-randomized *-VRJP can be written as a mixture of conditioned Markov processes. Secondly, we give a representation of the *-VRJP in terms of a random Schr\\"odinger operator. The corresponding representation for the classical VRJP has proved to be very useful in the understanding of its asymptotic behavior. The construction is based on several new and rather remarkable identities between integrals on the space of *-symmetric and *-antisymmetric functions on vertices. We give a description of the randomized *-VRJP in terms of that random Schr\\"odinger operator, which allows us to prove the representation of the randomized *-VRJP as a mixture of Markov jump processes in a different and more analytic manner. Similarly as for the VRJP, we think that the representation by a random Schr\\"odinger operator and the associated identities are key-features of the *-VRJP.

研究の動機と目的

• 頂点強化ジャンプ過程（VRJP）の非可逆的一般化を構築し、無向および有向強化メカニズムの間を滑らかに補間すること。
• 古典的VRJPと比較して解析が困難な、$\star$-VRJPにおける交換可能性の欠如を解消すること。
• 初期局所時間の確率的乱数化を用いて、$\star$-VRJPを混合過程として表現すること。
• 時間変換後の非確率的$\star$-VRJPが、条件付き自己相互作用ジャンプ過程の混合として表現可能であることを証明すること。
• VRJPおよびERRWの枠組みを、$\star$-対称性を持つ有向グラフへ拡張し、再帰性、非再帰性、混合測度に関する新たな知見を提供すること。

提案手法

• 有向グラフ$\mathcal{G}=(V,E)$上に、$(i,j)\in E \iff (j^*,i^*)\in E$を満たす$\star$-対合を備えた$\star$-VRJPを定義。遷移率は$ W_{i,j} e^{T_i(t) + T_{j^*}(t)} $に比例する。
• 時間変換$ s = C(t) = \sum_{i\in V} \log(1 + \frac{1}{2}(l_i^Z(s) + l_{i^*}^Z(s))) $を適用し、交換可能性解析に適した形に変換する。
• 初期局所時間を確率的乱数化することで部分的交換性を回復させ、de Finetti型表現の適用を可能にする。
• 確率的乱数化された$\star$-VRJPが、ヤグロム可逆なマコフジャンプ過程の混合であることを証明。可逆性は$ \pi_i K_{i,j} = \pi_{j^*} K_{j^*,i^*} $および$ \pi_i = \pi_{i^*} $で定義される。
• 離散的フェルマー＝カープ型公式とポアソン点過程のカップリングを用い、局所時間$ T_i(t) $とジャンプ回数$ N_{i,j}(t) $の関係を確立。$ W_{i,j} e^{T_i(t) + T_{j^*}(t)} \sim N_{i,j}(t) $がほとんど確実に成り立つことを示す。
• 発散なしベクトル空間への射影と、初期点への最初の帰還後の条件付き収束を用いて、$ T(t) - t/N $の収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期局所時間の確率的乱数化のもとで、混合測度や交換可能性といった重要な構造的性質を保つ非可逆的VRJPの一般化を構築可能か？
• RQ2 時間変換後の$\star$-VRJPは、交換可能性に欠けるにもかかわらず、ヤグロム可逆過程の混合として表現可能か？
• RQ3 $\star$-VRJPにおける局所時間$ T_i(t) $の漸近的挙動は何か？$ T(t) - t/N $はほとんど確実に収束するか？
• RQ4 時間変換後の非確率的$\star$-VRJPは、条件付きマコフ過程の混合として表現可能か？
• RQ5 $\star$-不変な辺重みと対合$\star$は、プロセスの長期的ダイナミクスと混合測度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $\star$-VRJPは、古典的VRJPとは異なり、元の形では部分的交換可能性を満たさない。これは解析的困難を引き起こす。
• 適切な初期局所時間の確率的乱数化により、時間変換後の$\star$-VRJPは部分的交換可能性を満たし、ヤグロム可逆なマコフジャンプ過程の混合として表現可能である。
• 極限局所時間ベクトル$ T(t) - t/N $は、導電率重みに関して発散なしのベクトル空間$ \mathcal{U}_0^{W} $内の点にほとんど確実に収束する。
• 非確率的$\star$-VRJPは、適切な時間変換の後、条件付き自己相互作用ジャンプ過程の混合として表現可能である。
• 比$ N_{i,j}(t) / \sum_{(k,l)\in \tilde{E}} N_{k,l}(t) $は、ほとんど確実に確率変数$ x_{i,j} $に収束し、$ W_{i,j} e^{T_i(t) + T_{j^*}(t)} \sim N_{i,j}(t) $がほとんど確実に成り立つ。
• 初期点$ i_0 $への最初の帰還後、導電率$ W^{T(\tau)}_{i_0} $が更新され、$ T(t) - t/N $の収束は帰還時刻$ \tau $の条件付きで成立する。