[論文レビュー] The Vertical Slice Transform in Spherical Tomography

Boris Rubin|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2018

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、球面トモグラフィーにおける垂直スライス変換について、熱圧縮像像および光圧縮像像に応用可能な新しい逆変換公式と特異値分解を提示する。変換を超平面ラドン変換に関連づけ、解析接続を用いることで、球面上の関数を垂直スライスに沿った積分から明示的に再構成することに成功し、球面幾何におけるオイラー＝ポisson＝ダルブール方程式の逆問題を解く。

ABSTRACT

The vertical slice transform takes a function on the n-dimensional unit sphere to integrals of that function over spherical slices parallel to the last coordinate axis. This transform arises in thermoacoustic tomography. We obtain new inversion formulas for the vertical slice transform and its singular value decomposition. The results can be applied to the inverse problem for the Euler-Poisson-Darboux equation associated to the corresponding spherical means.

研究の動機と目的

• n ≥ 2 に対して、単位球面 $S^n$ 上における球面トモグラフィーにおける垂直スライス変換の逆変換公式の開発。
• 最後の座標軸に平行な垂直超平面断片に沿った積分からの関数再構成という逆問題の取り扱い。
• 変数変換と面積測度の調整を用いて、垂直スライス変換を $\mathbb{R}^n$ 内の超平面ラドン変換に結びつける。
• 解析接続と特異値分解を用いて、変換の明示的逆変換公式の提供。
• 結果を、球面上のオイラー＝ポisson＝ダルブール方程式の逆問題、特に赤道測定値から初期データを再構成する問題に応用。

提案手法

• 垂直スライス変換 $Vf$ は、関数 $f$ を最後の座標軸に平行な球面スライスに沿って積分することによって定義される。
• 関数 $f$ の最後の変数に関する偶関数性を活用することで、上半球面に帰着され、半球変換 $V_+f$ が得られる。
• 変数変換により球面積分を $\mathbb{R}^n$ 内のラドン変換に写像し、関係式 $\varphi(x') = f(x', \sqrt{1-|x'|^2}) / \sqrt{1-|x'|^2}$ を用いる。
• 逆変換はラドン変換の逆 $R^{-1}$ を用いて構成され、$f(x', x_{n+1}) = x_{n+1} \cdot (R^{-1}\Phi)(x')$ が得られ、ここで $\Phi(\theta,t) = (V_+f)(\theta,t)/\sqrt{1-t^2}$ である。
• n=2 の場合、解析接続と対数ポテンシャルを用いた代替手法が開発され、$\Delta$ と $\log|t - \theta \cdot x'|$ を含む積分公式が導かれる。
• 明示的な逆変換は、$S^1 \times [-1,1]$ 上の二重積分を用い、対数核と $\sqrt{1-t^2}$ による正規化を伴う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 2 に対して、ユークリッド空間内の既知の変換を用いて、$S^n$ 上の垂直スライス変換をどのように逆変換できるか。
• RQ2 $\mathbb{R}^n$ 内で、垂直スライス変換と超平面ラドン変換の間にはどのような関係があるか。
• RQ3 n=2 の場合、解析接続とポテンシャル論を用いて垂直スライス変換の逆変換を構成できるか。
• RQ4 垂直スライス変換の特異値分解は、その逆変換特性とどのように関係するか。
• RQ5 垂直スライス変換と球面上のオイラー＝ポisson＝ダルブール方程式の間にはどのような関係があるか。

主な発見

• 垂直スライス変換 $Vf$ は、変数変換により得られる関数 $\varphi$ を用いて、$(V_+f)(\theta,t) = \sqrt{1-t^2} \cdot (R\varphi)(\theta,t)$ という関係により、超平面ラドン変換 $R\varphi$ と等価であることが示された。
• n ≥ 2 の場合、関数 $f$ は $f(x', x_{n+1}) = x_{n+1} \cdot (R^{-1}\Phi)(x')$ により $Vf$ から再構成可能であり、ここで $\Phi(\theta,t) = (V_+f)(\theta,t)/\sqrt{1-t^2}$ である。これは一般逆変換公式を提供する。
• n=2 の場合、代替逆変換公式が導出された：$f(x) = \frac{|x_3|}{8\pi^2} \Delta \int_{S^1} d\sigma(\theta) \int_{-1}^1 (Vf)(\theta,t) \frac{\log|t - \theta \cdot x'|}{\sqrt{1-t^2}} dt$。対数ポテンシャルと解析接続を用いたものである。
• 垂直スライス変換の特異値分解が明示的に計算され、そのスペクトル構造と安定性特性が明らかにされた。
• 結果は、オイラー＝ポソン＝ダルブール方程式の逆問題に応用された：球面上の初期データ $f$ は、解 $u(x,\omega)$ を赤道 $S^{n-1}$ に制限することで再構成可能であり、特に $\alpha = (1-n)/2$（波動方程式に対応）の場合に有効である。
• 本手法は、半径が固定された $0 < \theta \leq \pi/2$ の測地的球面の逆問題に対して、構成的解法を提供し、従来の結果をより広い問題クラスへ拡張した。