[論文レビュー] The volume of a set of arcs on a variety

Tommaso de Fernex, Mircea Mustaţă|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、代数的多様体の弧空間の部分集合に対して、関連するイデアルの長さの漸近的成長に基づいて定義される体積不変量を導入する。Cohen–Macaulay多様体の場合、閉点を中心とする弧の集合の体積は、$ \operatorname{vol}(C)^{1/n} \cdot \operatorname{jet\text{-}codim}(C) \geq n$ を満たすことが示され、Matherの対数正則特異点閾値を用いて、通常の対数正則特異点閾値と多重度を結ぶ古典的不等式が特異な設定へ一般化される。

ABSTRACT

In this paper, we give a definition of volume for subsets in the space of arcs of an algebraic variety, and study its properties. Our main result relates the volume of a set of arcs on a Cohen-Macaulay variety to its jet-codimension, a notion which generalizes the codimension of a cylinder in the arc space of a smooth variety.

研究の動機と目的

• 特異多様体の文脈において、代数的多様体の弧空間の部分集合に対する体積不変量を定義し、研究すること。
• コローゲート長、多重度、対数正則特異点閾値を結ぶ古典的不等式を、特異的かつCohen–Macaulayな多様体へ一般化すること。
• 弧集合の体積とそのジェット余次元の関係を確立し、滑らかでない多様体へ既存の結果を拡張すること。
• 標準的な対数正則特異点閾値の代わりに、特異的状況における主要な不変量としてMather対数正則特異点閾値を定義・分析すること。

提案手法

• 部分集合 $C \subseteq X_\infty$ の体積を、$\mathfrak{b}_m(C)$ が $C$ 内のすべての弧に少なくとも $m$ 階の位数で消える関数のイデアルであるとして、$\operatorname{vol}(C) = \limsup_{m \to \infty} \frac{\ell(R / \mathfrak{b}_m(C))}{m^n / n!}$ と定義する。
• 閉部分集合 $C \subseteq X_\infty$ のジェット余次元を、$\operatorname{jet\text{-}codim}(C) = \lim_{p \to \infty} \left( (p+1)n - \dim \overline{\pi_p(C)} \right)$ として定義し、ジェット空間における漸近的余次元を測る。
• 双有理的モデルとヤコビアンイデアルを用いて定義される、対数正則特異点閾値の特異的類似物としてのMather対数正則特異点閾値 $\widehat{\operatorname{lct}}(\mathfrak{a})$ を導入する。
• Cohen–Macaulay多様体上の $\mathfrak{m}$-主イデアルに対して、不等式 $(n! \cdot \ell(\mathcal{O}_X / \mathfrak{a}))^{1/n} \cdot \widehat{\operatorname{lct}}(\mathfrak{a}) \geq n$ および $e(\mathfrak{a})^{1/n} \cdot \widehat{\operatorname{lct}}(\mathfrak{a}) \geq n$ が成り立つことを証明する。
• ジェット余次元と体積を含む不等式の鎖を通じて、弧集合 $C$ の体積とイデアル $\mathfrak{b}_p(C)$ のMather対数正則特異点閾値の関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異代数的多様体の弧空間の部分集合に対して、意味のある体積不変量をどのように定義できるか？
• RQ2 弧空間における弧集合の体積とその幾何的余次元の関係は何か？
• RQ3 対数正則特異点閾値と多重度を結ぶ古典的不等式は、特異的かつCohen–Macaulayな多様体へどのように拡張できるか？
• RQ4 Mather対数正則特異点閾値は、特異的状況における標準的対数正則特異点閾値の適切な置き換えとして機能するか？
• RQ5 Mather対数正則特異点閾値の観点から、接触集合 $\operatorname{Cont}^{\geq m}(\mathfrak{a})$ の体積の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 弧集合 $C \subseteq X_\infty$ の体積が有限であることは、$C$ の $X$ への像が有限個の閉点からなることと同値である。
• 体積は包含・排除の不等式を満たす：$\operatorname{vol}(C_1 \cup C_2) + \operatorname{vol}(C_1 \cap C_2) \leq \operatorname{vol}(C_1) + \operatorname{vol}(C_2)$。
• 点にコサポートされるイデアル $\mathfrak{a}$ に対して、$\operatorname{Cont}^{\geq m}(\mathfrak{a})$ の体積は、$m^n \cdot \operatorname{vol}(\operatorname{Cont}^{\geq m}(\mathfrak{a})) \leq (mp)^n \cdot \operatorname{vol}(\operatorname{Cont}^{\geq mp}(\mathfrak{a})) \leq e(\mathfrak{a})$ を満たし、十分に大きな $m$ に対して等号が成り立つ。
• 集合 $C$ のジェット余次元が有限であることは、$C$ が有限個の有限余次元のシリンダーに含まれるということと同値である。
• 次元 $n$ のCohen–Macaulay多様体 $X$ に対して、任意の閉点上の弧集合 $C$ に対して、主不等式 $\operatorname{vol}(C)^{1/n} \cdot \operatorname{jet\text{-}codim}(C) \geq n$ が成り立つ。
• 滑らかな場合、これは $\operatorname{vol}(C)^{1/n} \cdot \operatorname{codim}(C) \geq n$ に簡略化され、滑らかな設定における既知の結果が回復される。