[論文レビュー] The volume of static black holes

William Ballik, Kayll Lake|arXiv (Cornell University)|May 7, 2010

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、非退化した定常ブラックホールおよび宇宙論的ホライズンに対して、ホライズンに接する空間的シェル $s$ で囲まれる時空体積として、有限で不変な四次元体積 $π_s$ を定義する。この体積は、ホライズンに沿ったアフィンパラメータ $\lambda$ に対して $\mathcal{V}_s \propto \ln(\lambda)$ と比例することを示し、パリック体積と表面重力の比を用いて、局所的かつ不変な表面重力の定義を新たに提示する。

ABSTRACT

The invariant four-volume $\mathcal{V}$ of a complete black hole (the volume of the spacetime at and interior to the horizon) diverges. However, if one considers the black hole set up by the gravitational collapse of an object, and integrates only a finite time to the future of the collapse, the resultant volume is well defined and finite. In this paper we examine non-degenerate stationary black holes (and cosmological horizons) and find that $\mathcal{V}_{s} \varpropto \ln(\lambda)$ where $s$ is any shell that terminates on the horizon, $\lambda$ is the affine generator of the horizon and the constant of proportionality is the Parikh volume of $s$ divided by the surface gravity. This provides an alternative local and invariant definition of the surface gravity of a stationary black hole.

研究の動機と目的

• 全四次元体積の発散を回避する、定常ブラックホールのための有限で不変な時空体積を定義すること。
• ホライズンの内在的性質（例えば表面重力）を記述する幾何学的量を確立すること。
• ホライズンに接する有限シェルにおける体積積分を用いて、局所的かつ不変な表面重力の特徴づけを提供すること。
• 解析を宇宙論的ホライズンへと拡張し、ブラックホールホライズンと同様の体積的挙動を示すこと。

提案手法

• イベントホライズンまたは宇宙論的ホライズンに接する空間的シェル $s$ を定義する。
• 時空体積 $\mathcal{V}_s$ を、$s$ とホライズンで囲まれる領域について、時空の不変体積要素を用いて積分する。
• ホライズンの光的生成子のアフィンパラメータ $\lambda$ を用いて、体積の増大をパラメータライズする。
• ホライズンの幾何構造と体積要素の振る舞いに基づき、$\lambda$ が大きい場合の漸近的挙動 $\mathcal{V}_s \propto \ln(\lambda)$ を導出する。
• 比例定数を、$s$ のパリック体積を表面重力 $\kappa$ で割ったものとして特定し、$\kappa$ の新たな不変定義を提示する。
• 非退化した定常ブラックホールおよび宇宙論的ホライズンに対してこの手法を適用し、各ケースにおいて一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常ブラックホールに対して、全時空四次元体積の発散を回避する有限で不変な四次元体積を定義できるか？
• RQ2 ホライズンに接する有限シェルの体積は、ホライズンに沿ったアフィンパラメータに対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 この体積のスケーリングは、新たな局所的かつ不変な表面重力の定義を可能にするか？
• RQ4 宇宙論的ホライズンに対しても、ブラックホールホライズンと同様の体積的挙動が成立するか？
• RQ5 体積と対数的スケーリングの間の比例定数の正確な幾何学的・物理的意味は何か？

主な発見

• ホライズンに接するシェル $s$ の有限四次元体積 $\mathcal{V}_s$ は、ホライズン生成子のアフィンパラメータ $\lambda$ に対して対数的に比例する：$\mathcal{V}_s \propto \ln(\lambda)$。
• 体積スケーリングの比例定数は、$s$ のパリック体積を表面重力 $\kappa$ で割ったものとして与えられ、$\kappa$ の新たな不変定義を提供する。
• この表面重力の定義は局所的で幾何学的であり、$s$ の選択に依存しないため、頑健な不変量である。
• この結果は、非退化した定常ブラックホールおよび宇宙論的ホライズンの両方に対して成り立ち、普遍的なスケーリング挙動を示している。
• 有限体積の構成は、全時空四次元体積の発散を解消しつつ、ホライズンに関する物理的情報を保持している。