[論文レビュー] The von Neumann algebra of the non-residually finite Baumslag group embeds into R^omega

Florin Rădulescu|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、無限共役類をもつ R^ω のユニタリ群の離散部分群としての超線形群を導入し、Baumslag 群が超線形であることを証明する。これにより、R^ω に埋め込める非超線形型 II₁ 因子が得られ、すべての分離可能型 II₁ 因子が R^ω に埋め込めるという Connes の予想に対する新たな証拠が得られる。

ABSTRACT

In this paper we analyze the structure of some sets of non-commutative moments of elements in a finite von Neumann algebra M. If the fundamental group of M is R_+\{0}, then the moment sets are convex, and if M is isomorphic to M tensor M, then the sets are closed under pointwise multiplication. We introduce a class of discrete groups that we call hyperlinear. These are the discrete subgroups (with infinite conjugacy classes) of the unitary group of R^omega. We prove that this class is strictly larger than the class of (i.c.c.) residually finite groups. In particular, it contains the Baumslag group . This leads to a previously unknown (non-hyperfinite) type II_1 factor that can be embedded in R^omega. This is positive evidence for Connes's conjecture that any separable II_1 factor can be embedded into R^omega.

研究の動機と目的

• 超線形群と呼ばれる新しい群のクラスを定義・研究し、残留有限群を拡張すること。
• 有限 von Neumann 代数における非可換モーメント集合の性質、特にその凸性と閉包性を分析すること。
• R^ω への型 II₁ 因子の埋め込み、特に非超線形例に焦点を当てること。
• すべての分離可能な II₁ 因子が R^ω に埋め込めるという Connes の予想に対する証拠を提供すること。

提案手法

• 無限共役類をもつ R^ω のユニタリ群の離散部分群として超線形群を定義する。
• 代数の基本群が R_+\{0} であるとき、有限 von Neumann 代数における要素のモーメント集合の凸性を示す。
• 代数が自身のテンソル平方と同型であるとき（M ≅ M ⊗ M）、モーメント集合が点ごとの積に関して閉じていることを証明する。
• R^ω 内の適切なユニタリ表現を構成することで、非残留有限な Baumslag 群が超線形であることを示す。
• Baumslag 群の超線形性を用いて、R^ω に埋め込める新しい型 II₁ 因子を構成する。
• この因数が非超線形であることを確立する。これにより、超線形の場合を超えた埋め込める II₁ 因子のクラスが拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超線形群のクラスは、(i.c.c.) 残留有限群のクラスよりも厳密に大きい可能性があるか？
• RQ2 有限 von Neumann 代数における非可換モーメント集合は、基本群に特定の条件が満たされる場合に凸性を示すか？
• RQ3 R^ω に埋め込める非超線形型 II₁ 因子は存在するか？
• RQ4 Baumslag 群は、R^ω のユニタリ群内に超線形群として実現可能か？
• RQ5 このような非超線形で埋め込める因数の存在は、Connes の埋め込み予想を支持するか？

主な発見

• 超線形群のクラスは、(i.c.c.) 残留有限群のクラスを厳密に含む。
• Baumslag 群は、無限共役類をもつ R^ω 内のユニタリ表現をもつため、超線形である。
• 非残留有限な Baumslag 群は、R^ω に埋め込める型 II₁ 因子を生成する。
• この構成された因数は非超線形であるため、非超線形 II₁ 因子が R^ω に埋め込めることが示された。
• 基本群が R_+\{0} であるとき、有限 von Neumann 代数における要素のモーメント集合は凸である。
• 代数が M ≅ M ⊗ M を満たすとき、モーメント集合は点ごとの積に関して閉じている。