[論文レビュー] The Waring Problem for Finite Quasisimple Groups. II

Robert M. Guralnick, Pham Huu Tiep|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、リー型の有限準単純群において、正則半単純元 x（素数位数）および y（高々2つの素数で割り切れる位数）が存在し、それらの共役類の積がすべての非中心元を覆うことを確立している。これにより、Waring型結果の有効版が得られ、十分に大きな有限単純群において、すべての元が2つの m 乗元の積として表され、m 乗語の語的幅が有界であることが示された。

ABSTRACT

Let G be a finite quasisimple group of Lie type. We show that there are regular semisimple elements x,y in G, x of prime order, and |y| is divisible by at most two primes, such that the product of the conjugacy classes of x and y contain all non-central elements of G. In fact in all but four cases, y can be chosen to be of square-free order. Using this result, we prove an effective version of one of the main results of Larsen, Shalev and Tiep by showing that, given any positive integer m, if the order of a finite simple group S is at least f(m) for a specified function f, then every element in S is a product of two mth powers. Furthermore, the verbal width of the mth power word on any finite simple group S is at most g(m) for a specified function g. We also show that, given any two non-trivial words v, w, if G is a finite quasisimple group of large enough order, then v(G)w(G) contains all non-central elements of G. MSC-class: 20D05, 20C33

研究の動機と目的

• 有限リー型準単純群において、共役類の積がすべての非中心元を覆うような特定の正則半単純元 x および y の存在を確立すること。
• Larsen, Shalev, Tiep が有限単純群のWaring問題に関して得た結果の有効版を提供すること。
• 有限単純群における m 乗語の語的幅を、指定された関数 g に対して高々 g(m) に有界化すること。
• 任意の非自明な語 v および w に対して、結果を拡張し、十分に大きな有限準単純群において v(G)w(G) がすべての非中心元を含むことを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、リー型の有限準単純群において、位数が素数である正則半単純元 x および位数が高々2つの素数で割り切れる正則半単純元 y を構成する。
• 共役類およびリー型群の構造に関する群論的技法を用いて、積集合 x^G y^G を分析する。
• 特に正則半単純元に関する、有限リー型群の表現論および特徴標理論の深い結果に依拠する。
• 特徴和の評価およびWaring問題の枠組みを用いて、元を生成するために必要な m 乗の数の有効な定量的推定を得る。
• 基礎となるリー型群のランクおよび体のサイズに関する帰納法と場合分けによる議論を進める。
• すべての例外を除く4つの場合を除き、y を平方自由位数に選べることを用いることで、解析を簡素化し、結果を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限リー型準単純群において、共役類の積がすべての非中心元を覆うような正則半単純元 x および y を見つけられるか？
• RQ2 このような被覆性質を保証するための y の最小位数条件（例：平方自由、または素因数の数が有界）は何か？
• RQ3 有限単純群におけるWaring型結果を有効化し、任意の群元を表すために必要な m 乗の数の明示的上限を得られるか？
• RQ4 有限単純群における m 乗語の語的幅は何か？また、関数 g(m) によって一様に有界化できるか？
• RQ5 任意の非自明な語 v および w に対して、v(G)w(G) がすべての非中心元を含むための条件は何か？

主な発見

• 4つの例外を除くすべての場合において、正則半単純元 x（素数位数）および y（平方自由位数）が存在し、x^G y^G がすべての非中心元を含む。
• 位数が f(m) 以上の有限単純群 S のすべての元は、2つの m 乗元の積として表される。ここで f は明示的に指定された関数である。
• 任意の有限単純群 S における m 乗語の語的幅は高々 g(m) であり、g は指定された関数であり、一様な有界性が得られた。
• 任意の2つの非自明な語 v および w に対して、十分に大きな位数の有限準単純群 G において、v(G)w(G) は G のすべての非中心元を含む。
• 4つの例外を除き、すべての有限リー型準単純群に対して一様に結果が成り立ち、y を平方自由位数に選べる。
• x および y の構成は、制御された位数を持つ正則半単純元の存在に依拠しており、これは有限リー型群の構造によって保証される。