[論文レビュー] The Waring rank of the sum of pairwise coprime monomials

Enrico Carlini, Maria Virginia Catalisano+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2011

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、互いに素な単項式の和である任意の多項式のWaringランクを決定し、このような単項式においてランクが加法的であることを証明する。任意の単項式のWaringランクの完全な公式を提示し、最小の累乗和分解を構成する。また、3変数の特定の単項式が、同じ次数の一般形式のランクを上回る場合があることを示す。

ABSTRACT

In this paper we compute the Waring rank of any polynomial of the form F=M_1+...+M_r, where the M_i are pairwise coprime monomials, i.e., GCD(M_i,M_j)=1 for i not j. In particular, we determine the Waring rank of any monomial. As an application we show that certain monomials in three variables give examples of forms of rank higher than the generic form. As a further application we produce a sum of power decomposition for any form which is the sum of pairwise coprime monomials.

研究の動機と目的

• 互いに素な単項式の和である任意の多項式のWaringランクを決定すること。
• n変数における任意の単項式のWaringランクを計算すること。
• このような多項式の最小の累乗和分解を構成すること。
• 同じ次数の一般形式のランクを上回る単項式が存在するかどうかを特定すること。
• Waringランクが周囲の多項式環の変数数に依存しないことを確立すること。

提案手法

• Waringランクと、F^\perp に含まれる退化点のイデアルの関係を示すアポラリー補題を用いる。
• ヒルベルト関数および多重度論を用いて、点の1次元の飽和イデアルを分析する。
• 1 \leq a_1 \leq \cdots \leq a_n を満たす単項式 x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n} のWaringランクを、\prod_{i=2}^n (a_i + 1) として特徴付ける。
• 単位根を選んで線形形式を定義することで、最小の累乗和分解を構成する。
• 変数の追加がWaringランクを低下させないという事実を用い、多項式環の変数数に依存しない不変性を保証する。
• 分解に対応する点の集合を特定するために、M^\perp の annihilator イデアルの構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n変数における互いに素な単項式の和のWaringランクは何か？
• RQ2 任意の次数および変数分布に対して、単項式のWaringランクを閉形式で計算できるか？
• RQ3 3変数の単項式のうち、同じ次数の一般形式のランクを厳密に上回るものが存在するか？
• RQ4 多項式環への変数の追加に対して、多項式のWaringランクは不変か？
• RQ5 互いに素な単項式の和に対して、最小の累乗和分解を明示的に構成できるか？

主な発見

• 1 \leq a_1 \leq \cdots \leq a_n を満たす単項式 x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n} のWaringランクは、n \geq 2 のとき \prod_{i=2}^n (a_i + 1)、n = 1 のときは1である。
• 互いに素な単項式 M_i の和 F = \sum_{i=1}^r M_i に対して、\mathrm{rk}(F) = \sum_{i=1}^r \mathrm{rk}(M_i) が成り立つ。
• 3変数において、x_1 x_2^{(d-1)/2} x_3^{(d-1)/2}（d が奇数のとき）のような特定の単項式は、漸近的に d^2/4 に達する最大ランクを示し、一般形式のランク（約 d^2/6）を上回る。
• n \geq 4 のとき、同じ次数の一般形式のランクを超える単項式は存在せず、最大単項式ランクと一般形式ランクの比は1以下に抑えられる。
• 任意の互いに素な単項式の和に対して、各単項式を単位根を用いて独立に分解することで、最小の累乗和分解が得られる。全項数は個々のランクの和に等しい。
• 単項式 M = x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n} の分解には、x_1 + \epsilon(2)x_2 + \cdots + \epsilon(n)x_n という線形形式が用いられ、\epsilon(i) は (a_i+1) 乗根を走る。係数 \gamma_{\epsilon(2),\ldots,\epsilon(n)} は線形方程式系を解くことで決定される。