[論文レビュー] The Wasserstein distance between stationary measures associated to iterated function schemes on the unit interval

Italo Cipriano|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単位区間上の反復関数系（IFS）によって生成される定常測度間の1次 Wasserstein 距離について、明示的な公式およびタイトな近似を提供する。k 個の正の収縮写像、符号が異なる2つの収縮写像、および異なる IFS の構成を分析し、Cantor 階段の性質と最適輸送理論を活用して、特定の重みおよび収縮条件の下で閉形式の解を得る。

ABSTRACT

We provide explicit formulaes for the first Kantorovich-Wasserstein distance between stationary measures for iterated function scheme on the unit interval. In particular, we consider two stationary measures with different configurations of the weights associated to the same iterated function schemes with disjoint images composed of: $k$ positive contractions or $2$ contractions of different sign. We also study the case of two stationary measures associated to different iterated function schemes.

研究の動機と目的

• 反復関数系（IFS）が単位区間上に作用する定常測度間の1次 Wasserstein 距離の明示的公式を導出すること。
• k ≥ 2 個の正の収縮写像と互いに交差しない像を有する IFS を対象とし、既存の Wasserstein 距離に関する研究を拡張すること。
• 符号が異なる2つの収縮写像（正と負）を有する IFS において、重みの対称性の下で、互いに交差しない像を有する場合の解析を行うこと。
• 同じ IFS における異なる重みだけでなく、異なる IFS 間の定常測度間の Wasserstein 距離を研究すること。
• 最適輸送理論を用いて、フラクタル的および確率的設定における Wasserstein 距離の推定フレームワークを提供すること。

提案手法

• 与えられた分布に従う確率変数のカップリングの下での期待距離の下限として、Kantorovich-Wasserstein 距離の定式化を利用する。
• 1-Wasserstein 距離（W₁）に注目し、IFS の定常測度に対する最適輸送理論を適用する。
• 不変測度の再帰的構造と Cantor 階段関数を用いて、定常測度の累積分布関数を特徴付ける。
• アフィン収縮写像が互いに交差せず、重みの配置が対称であるという条件下で、明示的公式を導出する。
• Cantor 階段の交差を幾何学的・測度論的に分析し、Wasserstein 距離の上限を求める。
• 補題 3.13 を用いて近似の上限を確立し、非アフィンおよび非対称な場合にも適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 2 個の正の収縮写像、互いに交差しない像、および異なる重みベクトルを有する IFS に対して、1-Wasserstein 距離の明示的公式は何か？
• RQ2 1つの正の収縮写像と1つの負の収縮写像を有する IFS において、重みの対称性の下で、定常測度間の 1-Wasserstein 距離はどのように振る舞うか？
• RQ3 2つの異なる IFS が互いに交差しない像を有する場合、それらの定常測度間の Wasserstein 距離に対して閉形式の式を導出できるか？
• RQ4 非古典的 Cantor 階段の交差は、Wasserstein 距離の推定においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 本結果は、2つ以上の収縮写像を有する IFS や非対称な重み分布に一般化可能か？

主な発見

• k 個の正のアフィン収縮写像が互いに交差せず、特定の重み条件を満たす場合、$ W_1(\nu_p, \nu_q) $ の明示的公式が導出された。
• 正と負の収縮写像を1つずつ有する2段階 IFS において、像が互いに交差し、重みが対称な場合、明示的公式が得られた。
• アフィンでない場合を含め、k 個の正の収縮写像を有する IFS に対しても、$ W_1(\nu_p, \nu_q) $ の良好な近似が提供された。
• 両方の IFS が正の収縮写像と互いに交差しない像を有する場合、構造的条件を満たす限り、2つの異なる IFS の定常測度間の Wasserstein 距離が近似可能である。
• 輸送コストの上限を求めるために、単調でなく、滑らかでない非単調な Cantor 階段の交差を分析する手法に依拠している。
• 理論的上限は補題 3.13 を用いて確立され、非整数の収縮パラメータや非対称な重みを有する例において数値的に検証された。