[論文レビュー] The Wasserstein-Fisher-Rao metric for waveform based earthquake location

Datong Zhou, J. Chen+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2018

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、波形ベースの地震の位置特定における2次 Wasserstein 距離の代替として、Wasserstein-Fisher-Rao (WFR) 距離を提案する。正規化を伴わないため振幅情報が保持され、ソース・リセプタクル距離への感度が向上し、高ノイズ条件下でも著しく位置特定精度が向上する。数値結果では、2次 Wasserstein 法に比べて位置誤差が最大80%まで低減されている。

ABSTRACT

In our previous work [Chen el al., J. Comput. Phys., 373(2018)], the quadratic Wasserstein metric is successfully applied to the earthquake location problem. The actual earthquake hypocenter can be accurately recovered starting from initial values very far from the true ones. However, the seismic wave signals need to be normalized since the quadratic Wasserstein metric requires mass conservation. This brings a critical difficulty. Since the amplitude of a seismogram at a receiver is a good representation of the distance between the source and the receiver, simply normalizing the signals will cause the objective function in optimization process to be insensitive to the distance between the source and the receiver. When the data is contaminated with strong noise, the minimum point of the objective function will deviate and lead to a low accurate location result. To overcome the difficulty mentioned above, we apply the Wasserstein-Fisher-Rao (WFR) metric [Chizat et al., Found. Comput. Math., 18(2018)] to the earthquake location problem. The WFR metric is one of the newly developed metric in the unbalanced Optimal Transport theory. It does not require the normalization of the seismic signals. Thus, the amplitude of seismograms can be considered as a new constraint, which can substantially improve the sensitivity of the objective function to the distance between the source and the receiver. As a result, we can expect more accurate location results from the WFR metric based method compare to those based on quadratic Wasserstein metric under high-intensity noise. The numerical examples also demonstrate this.

研究の動機と目的

• 信号の正規化を要する2次 Wasserstein 距離の限界を解消し、振幅に基づく距離情報が失われる問題に対処する。
• 特に高ノイズ条件下で信号を正規化すると、目的関数がソース・リセプタクル距離に対して感度を失う問題を克服する。
• 振幅情報を保持することで最適化の感度と精度を向上させる波形ベースの地震の位置特定手法を開発する。
• 数値実験を通じて、WFR 距離が高ノイズ環境下で2次 Wasserstein 距離を上回ることを実証する。
• 初期推定値が悪く、汚染されたデータからでも、頑健かつ正確に地震の震源位置と発震時刻を回復可能にする。

提案手法

• 質量保存や信号の正規化を要しない非平衡最適輸送理論からの Wasserstein-Fisher-Rao (WFR) 距離を採用する。
• 波形ベースの地震の位置特定最適化問題において、2次 Wasserstein 距離の代わりに WFR 距離を誤差関数として使用する。
• 観測波形と合成波形の間の WFR 距離を最小化する非線形 PDE 約束最適化問題として地震の位置特定を定式化する。
• Ricker パulsar を源とする音響波動方程式と吸収境界条件を組み合わせて、合成波形をシミュレートする。
• 適応的制御パラメータを有する反復的最適化スキームを実装し、真の震源位置と発震時刻に収束させる。
• 誤差関数に振幅ダイナミクスを保持することで、ノイズの強いデータでもソース・リセプタクル距離に対する感度を維持できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 WFR 距離は、2次 Wasserstein 距離に比べて、高ノイズ条件下での波形ベースの地震の位置特定の頑健性を向上させるか？
• RQ2 誤差関数に振幅情報を保持することで、最適化のソース・リセプタクル距離への感度が向上するか？
• RQ3 真の震源位置から大きく離れた初期推定値から始めても、WFR 距離は真の地震の震源位置をどれほど正確に回復できるか？
• RQ4 現実の沈み込み帯モデルにおいて、WFR 距離と2次 Wasserstein 距離を比較した場合、位置特定精度にどの程度の定量的改善が見られるか？
• RQ5 特に複雑な速度構造下で、信号に強いノイズが混入した場合でも、WFR 距離は高い精度を維持できるか？

主な発見

• ケース (i) では WFR 距離で 0.34 km、2次 Wasserstein 距離で 1.31 km の位置誤差を示し、ノイズ下での顕著な改善が確認された。ケース (ii) では WFR が 0.07 km、2次 Wasserstein が 0.54 km であり、同様に顕著な改善が得られた。
• ケース (i) では、真の震源位置が地殻にあり、初期推定値が沈み込み帯にある場合、WFR 距離は2次 Wasserstein 距離に比べて位置誤差を約74%低減した。
• ケース (ii) では、真の震源位置がモホ不整合付近にある場合、WFR 距離は2次 Wasserstein 距離に比べて位置誤差を87%も低減した。
• 両ケースの収束軌道は、真の震源位置に安定的かつ迅速に収束しており、反復回数が増えるにつれて WFR 距離が単調に減少した。
• 振幅情報が保持されているため、WFR 距離はソース・リセプタクル距離に対して高い感度を維持している。これは、正規化された2次 Wasserstein アプローチでは失われる。
• 数値結果により、WFR を用いた手法が、強いノイズが混入したデータにおいても、2次 Wasserstein を用いた手法よりも頑健かつ正確であることが確認された。