[論文レビュー] The wave equation on the extreme Reissner-Nordström black hole

Sergio Dain, Gustavo Dotti|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、極限Reissner-Nordströmブラックホール外部におけるスカラー波動方程式の解の点ごとの有界性を確立し、コンpactな初期データが与えられた場合、解およびそのすべての$(t,s,\theta,\phi)$-微分係数が一様に有界であることを証明する。さらに、一般解において以前に発見されたホライズンにおける横方向微分係数の発散は、コンパクトなデータではより弱いものであることが示され、保存量$H_\ell[\Phi]$が消えることで、無限大への成長が抑制されることを示している。

ABSTRACT

We study the scalar wave equation on the open exterior region of an extreme Reissner-Nordström black hole and prove that, given compactly supported data on a Cauchy surface orthogonal to the timelike Killing vector field, the solution, together with its $(t,s,θ,ϕ)$ derivatives of arbitrary order, $s$ a tortoise radial coordinate, is bounded by a constant that depends only on the initial data. Our technique does not allow to study transverse derivatives at the horizon, which is outside the coordinate patch that we use. However, using previous results that show that second and higher transverse derivatives at the horizon of a generic solution grow unbounded along horizon generators, we show that any such a divergence, if present, would be milder for solutions with compact initial data.

研究の動機と目的

• 極限Reissner-Nordströmブラックホール外部におけるコンパクトな初期データに対するスカラー波動方程式の解の点ごとの有界性を確立すること。
• 一般解において以前に観察されたホライズンにおける横方向微分係数の無限大への成長が、コンパクトにサポートされた初期データを持つ解に対しても継続するかどうかを分析すること。
• 保存量$H_\ell[\Phi]$がコンパクトなデータにおけるホライズン不安定性の抑制に果たす役割を明確にすること。
• 一般解（発散が生じる）とコンパクトなデータ解（成長が穏やか）の間で、ホライズンにおける横方向微分係数の挙動を比較すること。
• 開外部領域における$(t,s,\theta,\phi)$座標系で、すべての偏微分係数の有界性を簡単な証明で示すこと。

提案手法

• 極限Reissner-Nordström時空の計量をパラメータ化するための等方的座標$(t,\rho,\theta,\phi)$とツルォイズ変数$s$の使用。
• 外部領域$\mathcal{D}$におけるスカラー波動方程式$\Box_g\Phi = 0$の定式化と、$t=\text{const}$のカウチー面$S$における初期データ。
• エネルギー推定と保存則を用いて、$(t,s,\theta,\phi)$座標系における微分係数の成長を制御すること。
• ホライズンにおける保存量$H_\ell[\Phi] = \partial_r\Phi + \frac{1}{m}\Phi$の分析。これはコンパクトなデータでは消える。
• ホライズン生成子に沿って$|\Phi| \leq Cv^{-3/5}$という漸近的挙動を用いて、高階の径方向微分係数を有界化すること。
• Aretakisの結果（横方向微分係数の無限大への成長）と比較し、コンパクトなデータでは$H_\ell[\Phi]$項が消えることにより、最も深刻な発散が抑制されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般解で以前に観察されたホライズンにおける2階以上横方向微分係数の無限大への成長が、コンパクトにサポートされた初期データを持つ解に対しても継続するか？
• RQ2 極限Reissner-Nordström外部領域において、スカラー場およびそのすべての$(t,s,\theta,\phi)$-微分係数の点ごとの有界性が、厳密に確立可能か？
• RQ3 コンパクトなデータに対して保存量$H_\ell[\Phi]$が消えることは、ホライズンにおける横方向微分係数の挙動にどのように影響するか？
• RQ4 コンパクトなデータ解において、ホライズン生成子に沿った$\partial_r^2\Phi$の正確な漸近的成長率は何か？
• RQ5 Aretakisのホライズン不安定性に関する結果と、コンパクトなデータに対する有界性を、$H_\ell[\Phi]$の役割を特定することで調和させることができるか？

主な発見

• コンパクトにサポートされた初期データに対して、極限Reissner-Nordströmブラックホール外部領域におけるスカラー波動方程式の解は、任意の順序の$(t,s,\theta,\phi)$-微分係数について点ごとに有界である。
• コンパクトなデータに対しては、保存量$H_{\ell=0}[\Phi] = \partial_r\Phi + \frac{1}{m}\Phi$が消えるため、ホライズンにおける$\partial_r\Phi$の無限大への成長が防止される。
• コンパクトなデータに対しては、ホライズン生成子に沿って$|\partial_r^2\Phi| \leq C' v^{2/5}$が成り立ち、一般解で見られる$v$比例の成長よりも穏やかであることが示される。
• Aretakisの研究で報告された横方向微分係数の最も深刻な発散は$\ell=0$モードに起因するが、$H_0 = 0$のとき、これは抑制される。コンパクトなデータではこの条件が満たされる。
• $\tilde{\Phi}$の有界性と有限なエネルギー$E[\tilde{\Phi}] < \infty$は、コンパクトなデータ解がAretakisが研究した解のクラスに拡張可能である可能性を示唆するが、その拡張は証明されていない。
• 本結果はホライズン不安定性を完全に排除するものではないが、非自明な$H_\ell[\Phi]$が存在しないため、一般解で見られる$v$線形の発散は回避され、結果としてより穏やかな不安定性が生じることを示している。