[論文レビュー] The weak Galerkin method for eigenvalue problems

Hehu Xie, Qilong Zhai+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、弱関数と弱微分を用いて高次収束を達成する、ラプラス固有値問題を解くための弱ガレルキン（WG）有限要素法を提案する。この手法は固有値の下界近似を提供し、収束速度が2次以上を上回る。これは、古典的な非適合法が2次収束に制限されるのに対し、著しく優れた結果を示している。

ABSTRACT

This article is devoted to computing the eigenvalue of the Laplace eigenvalue problem by the weak Galerkin (WG) finite element method with emphasis on obtaining lower bounds. The WG method is on the use of weak functions and their weak derivatives defined as distributions. Weak functions and weak derivatives can be approximated by polynomials with various degrees. Different combination of polynomial spaces leads to different WG finite element methods, which makes WG methods highly flexible and efficient in practical computation. We establish the optimal-order error estimates for the WG finite element approximation for the eigenvalue problem. Comparing with the classical nonconforming finite element method which can just provide lower bound approximation by linear elements with only the second order convergence, the WG methods can naturally provide lower bound approximation with a high order convergence (larger than $2$). Some numerical results are also presented to demonstrate the efficiency of our theoretical results.

研究の動機と目的

• ラプラス作用素の固有値に対して信頼性のある下界近似を提供する弱ガレルキン有限要素法の開発。
• 古典的な非適合法が下界近似において僅かに2次収束に制限されるという限界を克服すること。
• ラプラス固有値問題に適用したWG法の最適順位の誤差推定を確立すること。
• 多角形領域およびL字型領域における数値実験を通じて、この手法の高次収束性と頑健性を示すこと。
• 多面体メッシュ上での不連続多項式近似を用いた、固有値問題のための柔軟で高次な数値フレームワークの提供。

提案手法

• 手法は、有限要素分割上での分布として定義される弱関数と弱微分を用い、多面体要素上で不連続近似を可能にする。
• さまざまな次数の多項式空間を用いて弱関数と弱微分を近似し、高い柔軟性と高次精度を実現する。
• 弱連続性を強制し、離散定式化の安定性を確保するために安定化項を導入する。
• 弱勾配と弱関数の内積を含む変分定式化から離散固有値問題を導出する。
• 多角形領域およびL字型領域における、同次Dirichlet境界条件を満たす標準固有値問題に手法を適用する。
• 収束性と下界性を評価するために、多項式次数（k=1,2）とメッシュサイズ（h=1/4から1/128）を変化させた数値スキームを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ガレルキン法は、高次収束を達成するラプラス固有値の下界近似を提供できるか？
• RQ2 WG法の収束速度は、下界精度の観点から、古典的な非適合有限要素法と比べてどのように異なるか？
• RQ3 ラプラス固有値問題における固有対のWG近似の最適誤差推定は何か？
• RQ4 L字型領域のような非凸領域に対しても、WG法は固有値の下界性を維持するか？
• RQ5 WG法は、下界性を保ちながら、2次以上の収束速度を達成できるか？

主な発見

• 弱ガレルキン法は、固有値近似に対して最適順位の誤差推定を達成し、高次多項式近似では収束速度が2次を上回る。
• k=1（線形要素）の場合、2次収束を示す下界近似を提供し、古典的な非適合法と一貫している。
• k=2（2次要素）の場合、収束速度が2より大きいことが確認され、線形要素に比べて精度が向上している。
• L字型領域における数値結果から、離散固有値λj,hはhが小さくなるにつれて単調に増加することが示され、下界性が確認された。
• 計算された固有値は正確な固有値から下側に収束し、k=2およびε=0の場合、h→0でλ1,hが約9.6392に近づく。
• この手法は、さまざまなメッシュの細分化や領域形状、特に特異性を示すL字型領域に対しても、頑健な性能を維持する。