[論文レビュー] The Weak Galerkin methods are rewritings of the Hybridizable Discontinuous Galerkin methods

Bernardo Cockburn|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、弱ガレルキン（WG）法が数学的に混合可解離有限要素法（HDG）法と同等であることを確立しており、さまざまな偏微分方程式（定常拡散、ストークス流れ、ビラプラシアン）において、WG法の定式化がHDG法の再パrametrizationに過ぎないことを示している。主な貢献は、WG法が新規なものではなく、既存のHDG法の別表現であることを形式的に証明したことである。

ABSTRACT

We establish that the Weak Galerkin methods are rewritings of the hybridizable discontinuous Galerkin methods.

研究の動機と目的

• WG法と混合可解離有限要素法（HDG）法の間の長年の文献上の混乱を解消すること。
• WG法がHDG法とは本質的に異なるのではなく、むしろそれらの数学的再表現であることを示すこと。
• 安定化関数の起源や方法論的革新に関するWG文献における誤った帰属を是正すること。
• WG法が主張する利点（一般の幾何形状の取り扱い、安定化技術など）が、実際には新規ではなく、既存のHDG理論に由来することを示すこと。
• 2次の楕円型問題、ストークス流れ、およびビラプラシアン方程式を含む複数の偏微分方程式において、WG法がHDG法と同等であるという統一的理解を提供すること。

提案手法

• 定常拡散方程式に対して、WG法とHDG法の弱形式を変分的定式化を用いて比較し、適切な有限要素空間と安定化を選択すれば、同一の離散系が得られることを示している。
• 自由度の一致によって同等性を確立している：WG法の内部フラックス、要素単位の解、数値的トレースが、HDG法のそれらと正確に一致する。
• 解析をストークス方程式およびビラプラシアン方程式へ拡張し、より複雑な偏微分方程式に対しても同様の同等性が成り立つことを確認している。
• 著者たちはHDGフレームワークを統一的プラットフォームとして用い、WG法を再表現することで、WG法の安定化関数 τ = ρ/h_K P_M(F) がレーレンフェルトとシューベルトにより2010年にすでに導入されていたことを示している。
• WG法の歴史的発展をたどり、HDG法および混合法との定式化を比較することで、係数が定数のとき、WG法はハイブリッド化された混合法であることが明らかになった。
• WG文献の批判的レビューを実施し、方法論的革新に関する誤った主張や、安定化技術の誤った帰属を特定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ガレルキン法は、混合可解離有限要素法と本質的に異なるものなのか、それとも数学的に同等なのか？
• RQ2 WG法が主張する利点（一般の幾何形状の取り扱い、安定化技術など）は、実際に新規なものなのか、それとも既存のHDG理論に由来するのか、その程度はいかほどか？
• RQ3 WGの著者らが、自らの手法をHDG法ではないと主張しているが、その根拠は何か？（実際には、定式化が同等であるため）
• RQ4 安定化関数 τ = ρ/h_K P_M(F) の歴史的起源は何か？誰が最初に導入したのか？
• RQ5 ビラプラシアン方程式を含む、さまざまな偏微分方程式において、WG法とHDG法の自由度および変分的定式化はどのように比較できるか？

主な発見

• 2013年に提案されたWG法は、1994年の混合有限要素法のハイブリッド化版および1997年の拡張混合法の特殊ケースとして、HDG法の一部であり、数学的に同等である。
• 2014年に導入されたWG法および2015年の2つのWG法は、すべて、有限要素空間が同等のとき、HDG法の単純な再パrametrizationであり、同一の離散系を持つ。
• WG論文で新規性として頻繁に引用される安定化関数 τ = ρ/h_K P_M(F) は、2010年のクリストフ・レーレンフェルトの修士論文ですでに導入されており、その後HDG法でも使用された。WG文献での使用はそれより遅れている。
• WG法が一般の幾何形状を独自に取り扱えると主張する根拠は根拠に欠ける。この性質はDG法に内在しており、HDG法およびWG法の両方に共通する。
• WG法は新規の手法ではなく、HDG法の再ブランド化に過ぎない。WG法とHDG法の違いは、方法論的ではなく、表記法的および用語的差異に限られる。
• 係数が変動する場合でも、WG法はHDG法と同等である。WG文献でそのような場合に同等性が崩れるという主張は誤りであり、係数の依存性に関わらず同等性は保たれる。