[論文レビュー] The weak Hilbert-Smith conjecture from a Borsuk-Ulam-type conjecture

Alexandru Chirvăsitu, Ludwik Dąbrowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所的に自明な主G-バンドルに対して、 Baum、Dåbrowski、Hajac のボルスキー＝ウラム型予想を証明し、自由なコンパクト群作用のもとで、$X*G$ から $X$ への G-等長写像が存在しないことを確立する。この結果は、弱いヒルベルト＝シュミット予想を示しており、$\mathbb{Z}_p$ のような無限大のコンパクトなゼロ次元群が、有限次元な軌道空間を持つ有限次元多様体に自由に作用することはできないことを示している。

ABSTRACT

We prove a number of results surrounding the Borsuk-Ulam-type conjecture of Baum, Dąbrowski and Hajac (BDH, for short), to the effect that given a free action of a compact group $G$ on a compact space $X$, there are no $G$-equivariant maps $X*G o X$ (with $*$ denoting the topological join). In particular, we prove the BDH conjecture for locally trivial principal $G$-bundles. The proof relies on the non-existence of $G$-equivariant maps $G^{*(n+1)} o G^{*n}$, which in turn is a slight strengthening of an unpublished result of M. Bestvina and R. Edwards. Moreover, we show that the BDH conjecture partially settles a conjecture of Ageev. In turn, the latter implies the weak version Hilbert-Smith conjecture stating that no infinite compact zero-dimensional group can act freely on a manifold such that the orbit space is finite-dimensional.

研究の動機と目的

• コンパクトハウスドルフ空間に自由に作用するコンパクト群のボルスキー＝ウラム型予想を確立すること。
• G-等長写像 $X*G \to X$ の非存在が、弱いヒルベルト＝シュミット予想を示すことの証明。
• 自由な G-作用の下での Menger コンパクト集合 $\mu^n$ の普遍性を活用し、次元論的障害を導出すること。
• 任意の多様体 $M$ に対して、$\mathbb{Z}_p$-作用による軌道空間が有限次元であるとき、$\dim(M/\mathbb{Z}_p) = \infty$ であることを確認すること。
• Bestvina と Edwards が $G$ のジョインに関して得た結果を拡張し、G-等長写像 $G^{*(n+1)} \to G^{*n}$ の非存在を証明すること。

提案手法

• コンパクトハウスドルフ空間 $X$ に自由に作用するコンパクト群 $G$ に対して、位相的ジョイン構成を用いて、$G$-等長写像 $X*G \to X$ の非存在を証明する。
• 軌道空間 $X*G/G$ の構造と、$\dim(X*G/G) \leq \max(\dim(X/G), \dim(X)+1)$ を用いた次元推定を用いる。
• 自由な $G$-作用の下での Menger コンパクト集合 $\mu^n$ の普遍性を応用し、軌道から全空間への等長写像の拡張を行う。
• 同型 $X \times_{\Delta} G / G \cong X$ を用いて、軌道空間の次元と元の空間の次元を関連付ける。
• 問題を、Bestvina と Edwards の未発表の結果の強化版に依存する $G$-等長写像 $G^{*(n+1)} \to G^{*n}$ の非存在の証明に還元する。
• universal $G$-作用の下で $\dim(\mu^n / G) = n$ であるという事実を用いて、軌道写像による次元の増加を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトハウスドルフ群 $G$ がコンパクトハウスドルフ空間 $X$ に自由に作用するとき、$G$-等長写像 $X*G \to X$ が存在するか？
• RQ2 Baum、Dåbrowski、Hajac のボルスキー＝ウラム型予想は、局所的に自明な主 $G$-バンドルに対しても証明可能か？
• RQ3 $G$-等長写像 $X*G \to X$ の非存在は、多様体上の $\mathbb{Z}_p$-作用における弱いヒルベルト＝シュミット予想を示すか？
• RQ4 自由な $G$-作用の下での Menger コンパクト集合 $\mu^n$ の普遍性を用いて、$m > n$ のとき $\mu^m \to \mu^n$ への $G$-等長写像が障害を受けるか？
• RQ5 多様体 $M$ が有限次元であり、$\mathbb{Z}_p$ が自由に作用するとき、軌道空間 $M/\mathbb{Z}_p$ の次元は必ず無限大か？

主な発見

• ボルスキー＝ウラム型予想は、コンパクトハウスドルフ群の自由作用、特に局所的に自明な主 $G$-バンドルに対しても成立する。
• $G$-等長写像 $X*G \to X$ の非存在は、任意の $\mathbb{Z}_p$-作用が、有限次元多様体に作用する場合、軌道空間が有限次元にはなり得ないことを示している。
• $m > n$ のとき、$G$ が $\mu^m$ および $\mu^n$ の両方の Menger コンパクト集合に自由に作用するならば、$G$-等長写像 $\mu^m \to \mu^n$ は存在しない。
• universal $G$-作用の下で $\dim(\mu^n / G) = n$ であることが、Ageev によって示され、[11] の構成によっても裏付けられている。
• 任意の自由な $G$-作用がコンパクト空間 $X$ に作用するとき、不等式 $\dim(X*G/G) \leq \max(\dim(X/G), \dim(X)+1)$ が成り立つ。これにより、軌道空間における次元の制御が可能になる。
• この結果は、弱いヒルベルト＝シュミット予想を確認する。すなわち、$\mathbb{Z}_p$ のような無限大のコンパクトなゼロ次元群は、有限次元な軌道空間を持つ有限次元多様体に自由に作用することはできない。