[論文レビュー] The weakness of the pigeonhole principle under hyperarithmetical reductions

Benoît Monin, Ludovic Patey|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2色への無限ピアノホール原理（$ olimits\mathrm{RT}^1_2$）が超帰納的還元において強い錐回避を満たすことを確立している。すなわち、任意の非超帰納的集合 $B$ に対して、$A$ またはその補集合内の無限均一部分集合 $H$ が存在し、$B$ が $H$ に対して非超帰納的のまま保たれる。主な貢献は、ジャンプ制御を一般化する新規な強制法の構成であり、これにより $ olimits\Delta^0_n$ および算術的還元においても強い錐回避が得られ、王が提起した低 $n$ 部分集合に関する問いを解決する。

ABSTRACT

The infinite pigeonhole principle for 2-partitions ($\\mathsf{RT}^1_2$) asserts the existence, for every set $A$, of an infinite subset of $A$ or of its complement. In this paper, we study the infinite pigeonhole principle from a computability-theoretic viewpoint. We prove in particular that $\\mathsf{RT}^1_2$ admits strong cone avoidance for arithmetical and hyperarithmetical reductions. We also prove the existence, for every $\\Delta^0_n$ set, of an infinite low${}_n$ subset of it or its complement. This answers a question of Wang. For this, we design a new notion of forcing which generalizes the first and second-jump control of Cholak, Jockusch and Slaman.

研究の動機と目的

• 無限ピアノホール原理 ($\mathrm{RT}^1_2$) の計算可能性理論的強さを、さまざまな還元において調査すること。
• $\mathrm{RT}^1_2$ が $\Delta^0_n$、算術的、超帰納的還元において強い錐回避を満たすかどうかを特定すること。
• 王が提起した、$\Delta^0_n$ 集合内に低 $n$ 無限均一部分集合が存在するかという問いを解決すること。
• チャラク、ジョッカシュ、スラマンの第一および第二ジャンプ制御技術を一般化する新規な強制概念を開発すること。

提案手法

• 超帰納的還元を扱うためにジャンプ制御を一般化する新規な強制概念 $\mathbb{P}_{\omega_1^{\mathrm{ck}}}$ を導入する。
• 大きさクラスの階層 $\mathcal{L}_C$ と $\mathcal{B}_{n,\beta}$--genericity の概念を用いて、一般化対象の超帰納的複雑性を制御する。
• 条件の再帰的構成を用いて、一般化フィルター $\mathcal{F}$ が $\omega_1^{\mathrm{ck}}$ を計算しないように保証し、一般化対象 $H$ に対して $\omega_1^H = \omega_1^{\mathrm{ck}}$ を維持する。
• $\mathcal{B}_{n,\beta}$-genericity の概念を適用し、$G$-計算可能な関数が $\omega_1^{\mathrm{ck}}$ をコード化できないように保証する。これにより $\omega_1^G > \omega_1^{\mathrm{ck}}$ を防ぐ。
• $\{G : n \in \mathcal{O}_\alpha^G\}$ が $\alpha$ および $n$ に関して一様に $\Delta^1_1$ であることを利用し、超帰納的コード化をブロックする強制条件を定義する。
• $\Delta^0_n$-genericity と $\Sigma^1_1$-genericity の性質を強制法と組み合わせ、十分に一般化されたフィルターに対して $\omega_1^{G_\mathcal{F}} = \omega_1^{\mathrm{ck}}$ が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{RT}^1_2$ は $\Delta^0_n$ 還元において強い錐回避を満たすか？
• RQ2 $\mathrm{RT}^1_2$ は算術的還元において強い錐回避を満たすか？
• RQ3 任意の $\Delta^{0}_{n+1}$-計算可能集合 $A$ に対して、低 $n+2$ 次元の無限均一部分集合 $H$ が存在するか？
• RQ4 強い錐回避は超帰納的還元へ拡張可能であり、$\omega_1^H = \omega_1^{\mathrm{ck}}$ を保つことができるか？
• RQ5 超帰納的複雑性を扱えるようにジャンプ制御を一般化する強制概念を構成可能か？

主な発見

• $\mathrm{RT}^1_2$ が $\Delta^0_n$ 還元において強い錐回避を満たすことを証明した。すなわち、任意の非 $\emptyset^{(n)}$-計算可能集合 $B$ に対して、$A$ または $\overline{A}$ 内の無限均一部分集合 $H$ が存在し、$B$ が $H^{(n)}$-計算可能でない。
• $\mathrm{RT}^1_2$ が算術的還元において強い錐回避を満たすことを確立した。任意の非算術的集合 $B$ に対して、$A$ または $\overline{A}$ 内の無限均一部分集合 $H$ が存在し、$B$ が $H$ に関して非算術的である。
• $\Delta^{0}_{n+1}$-計算可能集合 $A$ に対して、低 $n+2$ 次元の無限均一部分集合 $H$ が存在することを示し、王の問いに答えを提示した。
• 任意の十分に一般化されたフィルター $\mathcal{F}$ に対して、一般化対象 $G_{\mathcal{F}}$ が $\omega_1^{G_{\mathcal{F}}} = \omega_1^{\mathrm{ck}}$ を満たすような強制概念 $\mathbb{P}_{\omega_1^{\mathrm{ck}}}$ を構成した。これにより、$G_{\mathcal{F}}$-計算可能な関数が $\omega_1^{\mathrm{ck}}$ をコード化できないことが保証された。
• 任意の非超帰納的集合 $B$ に対して、$A$ または $\overline{A}$ 内の無限均一部分集合 $H$ が存在し、$B$ が $H$ に関して非超帰納的であり、$\omega_1^H = \omega_1^{\mathrm{ck}}$ であることを示した。これにより、超帰納的還元における強い錐回避が確立された。
• 強制構成により、一般化対象が $\omega_1^{\mathrm{ck}}$ を計算しないことが保証され、構成的階層の $\omega_1$-順序型が保存された。