[論文レビュー] The weight-two Hodge structure of moduli spaces of sheaves on a K3 surface

Kieran G. O’Grady|ArXiv.org|Oct 2, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 62

ひとこと要約

本稿では、第一チャーン類が原始的である条件の下で、K3面上のねじれ自由な層のモジュライ空間の重み2ホッジ構造が、ムカイ格子におけるムカイベクトルの直交補空間に同型であることを確立する。主な結果は、これらのモジュライ空間が非特異シンプレクティック多様体であること、および標準的なムカイ写像が整数ホッジ構造の同型であり、またベアヴィルのコhomology上の2次形式に関して等長写像であることである。

ABSTRACT

We prove that the weight-two Hodge structure of moduli spaces of torsion-free sheaves on a K3 surface is as described by Mukai (the rank is arbitrary but we assume the first Chern class is primitive). We prove the moduli space is an irreducible symplectic variety (by Mukai's work it was known to be symplectic). By work of Beauville, this implies that its $H^2$ has a canonical integral non-degenrate quadratic form; Mukai's recepee for $H^2$ includes a description of Beauville's quadratic form. As an application we compute higher-rank Donaldson polynomials of $K3$ surfaces.

研究の動機と目的

• K3面上のねじれ自由な層のモジュライ空間の重み2ホッジ構造を特定すること。
• 第一チャーン類が原始的である場合、そのようなモジュライ空間が非特異シンプレクティック多様体であることを確立すること。
• ムカイベクトルの直交補空間から第二コhomologyへのムカイ写像が整数ホッジ構造の同型であることを証明すること。
• 原始的条件の下で、ムカイのホッジ構造記述をランク≤2から任意のランクへ拡張すること。
• 結果を用いて、K3面上の高ランクドナルド多項式を計算すること。

提案手法

• H^*(S;\mathbb{Z}) 上のムカイ格子構造を用い、対称的双一次形式 \langle \alpha, \beta \rangle = -\int_S \alpha^* \wedge \beta を定義する。
• 層 F に対してムカイベクトル v(F) = \operatorname{ch}(F)(1 + \omega) を定義する。ここで \omega は H^4(S) 内の基本類である。
• 準トートロジカルな層の族を用いて、標準的ムカイ写像 \theta_v: v^\perp \to H^2(\mathcal{M}_v(H); \mathbb{C}) を構成する。
• モジュライ空間上のベクトル束によって誘導される同型を用いて、\theta_v が準トートロジカル族の選択に依存しないことを証明する。
• 変形理論およびムカイとベアヴィルの結果を用いて、\mathcal{M}_v(H) の非特異性とシンプレクティック構造を確立する。
• \mathcal{M}_v(H) が Hilbert 構造 T^{[n]} と変形同倣であることを利用して、Beauvilleの第二コhomology上の標準的2次形式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3面上の層のモジュライ空間の重み2ホッジ構造は、任意のランクにおいてムカイの構成によって完全に記述可能か？
• RQ2 第一チャーン類が原始的で、\langle v, v \rangle > 0 であるとき、モジュライ空間 \mathcal{M}_v(H) は非特異シンプレクティック多様体のままであるか？
• RQ3 ムカイ写像 \theta_v はランク2の場合を越えて、整数ホッジ構造の同型として拡張可能か？
• RQ4 H^2(\mathcal{M}_v(H); \mathbb{Z}) 上の標準的2次形式は、v^\perp 上のムカイの形式とどのように関係するか？
• RQ5 このホッジ理論的同型は、K3面上のドナルドソン多項式の計算にどのような意味を持つのか？

主な発見

• v^1 が原始的で、\langle v, v \rangle > 0 であるとき、モジュライ空間 \mathcal{M}_v(H) は非特異シンプレクティック多様体であり、H^{2,0} を張るシンプレクティック形式を有する。
• 標準的ムカイ写像 \theta_v: v^\perp \to H^2(\mathcal{M}_v(H); \mathbb{C}) は整数ホッジ構造の同型である。
• v^\perp にムカイの2次形式、H^2(\mathcal{M}_v(H)) にベアヴィルの標準的2次形式を導入したとき、写像 \theta_v は等長写像である。
• この結果は、ムカイの元々のランク≤2におけるホッジ構造記述を、原始的条件の下で任意のランクへ一般化する。
• 一般には、モジュライ空間は任意の Hilbert 構造 T^{[n]} とは双有理同倣でないが、その変形同倣である。
• この同型により、モジュライ空間のホッジ理論的構造を用いて、K3面上の高ランクドナルド多項式を計算可能となる。