[論文レビュー] The Weil-Etale Topology for Number Rings

Stephen Lichtenbaum|ArXiv.org|Mar 25, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、数体の整数環のスペクトルに対してWeil-étale位相を導入し、Weil-étaleコホロロジー群が有限生成であり、そのオイラー乗積がDedekindゼータ関数のs=0における特別値を計算する新しいコホロロジー理論を構築する。主な結果は、コホロロジー複体のオイラー乗積が符号を除いて、zeta関数の先頭項に一致することを確認しており、リグレータとクラス数が公式に自然に現れる。

ABSTRACT

We would like to construct a new Grothendieck topology for arithmetic schemes, whose cohomology groups associated with motivic complexes of sheaves are finitely generated and whose Euler characteristics are related to special values of zeta-functions. In this paper we construct this topology for rings of algebraic integers and show that the cohomology of the constant sheaf Z is related to the behavior of zeta-functions at s = 0.

研究の動機と目的

• Spec ℤ 上の算術的スキーム、特に X = Spec OF に対して、新しいGrothendieck位相、Weil-étale位相を定義すること。
• H^q_c(X,ℤ) が有限生成であり、q > 3 で消えるWeil-étaleコホロロジー群を構成すること。
• zeta関数の特別値とこれらのコホロロジー群のオイラー乗積との間の予想的な関係を確立すること。
• コホロロジーが3次元以上で消えるものと仮定したもとで、数体のDedekindゼータ関数に対してこの予想を検証すること。

提案手法

• Gを数体のWeil群とするとき、局所的セクションを用いてG-空間上のGrothendieck位相T_Gを定義する。
• X = Spec OF のコンパクト化X̄ 上での層φ!ℤ のハイパコホロロジーを用いてWeil-étaleコホロロジーを構成する。
• Lerayのスペクトル系列およびWeil群の性質を用いて、H^q_c(X,ℝ) を計算し、ℝへのテンソル積を用いてH^q_c(X,ℤ) と関連付ける。
• Weil群のアーベル化上の絶対値の対数に対応する、H^1(X̄, ℝ) に属する標準的クラスψを特定する。
• ψとのYoneda積を用いて、そのオイラー乗積が行列式によって計算される複体を定義する。
• この複体の行列式を古典的リグレータと関連付け、クラス数および根数を用いて特別値ζ*F(0) を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weil-étale位相と呼ばれる新しいGrothendieck位相を、算術的スキームに対して定義可能であり、そのコホロロジー群が有限生成であり、zeta関数の特別値を計算できるか？
• RQ2 Weil-étaleコホロロジー複体 H^*(X̄, φ!ℤ) のオイラー乗積は、数体FのDedekindゼータ関数の特別値ζ*F(0) に等しいか？
• RQ3 X = Spec OF に対してコホロロジー群H^q_c(X,ℤ) はどのように振る舞い、q > 3 で消えるか？
• RQ4 Weil群およびその作用は、コホロロジー理論の構築とリグレータおよびクラス数との関係の確立において果たす役割は何か？

主な発見

• Weil-étaleコホロロジー群H^q_c(X,ℤ) は有限生成アーベル群であり、論文の予想を仮定したもとでq > 3 で消える。
• H^q_c(X,ℤ) ⊗ ℝ から H^q_c(X,ℝ) への自然な写像は同型であり、実コホロロジーと整合性を持つことを保証する。
• H^1(X̄, ℝ) に属する標準的クラスψが存在し、ψとのYoneda積により複体(H^*_{c}(X,ℝ), ∪ψ) が完全になる。これにより、well-definedなオイラー乗積が定義可能となる。
• 複体H^*(X̄, φ!ℤ) のオイラー乗積χ_c(X) は、±ζ*F(0) に等しく、s=0におけるDedekindゼータ関数の先頭項に一致する。
• Yoneda積ψとの行列式はR^{-1}に等しく、Rは数体Fの古典的リグレータである。
• H^2_c(X,ℤ) の torsion 部分の位数はクラス数h_F に等しく、|H^3_c(X,ℤ)| = w_F はFに含まれる単位根の数に等しい。