[論文レビュー] The Wellposedness of FBSDEs (II)

Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の時間区間、確率的係数、おそらく退化する前向き拡散項、および単調性を要しない緩い条件下で、高次元の前向き・後向きストキャスティック微分方程式（FBSDE）の適切性を確立する。係数の偏微分を含む弱化された構造的条件のもとで、解の存在と一意性を証明しており、従来の結果を大幅に一般化している。微分可能性と単調性の要件を緩和しつつ、リプシッツ連続性を維持している。

ABSTRACT

This paper is a continuation of \cite{zhang}, in which we established the wellposedness result and a comparison theorem for a class of one dimensional Forward-Backward SDEs. In this paper we extend the wellposedness result to high dimensional FBSDEs, and weaken the key condition in \cite{zhang} significantly. Compared to the existing methods in the literature, our result has the following features: (i) arbitrary time duration; (ii) random coefficients; (iii) (possibly) degenerate forward diffusion; and (iv) no monotonicity condition.

研究の動機と目的

• 1次元FBSDEの適切性結果を高次元系へ拡張すること。
• Zhang（2005）の先行研究における鍵となる構造的条件（微分可能性および厳密単調性）を、より一般的な導出に基づく不等式条件へ弱めること。
• 任意の時間期間、確率的係数、およびおそらく退化する前向き拡散項を有するFBSDEの解の存在と一意性を確立すること。
• FBSDEの適切性理論において単調性条件を排除すること。
• 最小限の正則性仮定のもとで安定性と収束性を保証するため、マルコフ型FBSDEの数値的手法に適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• 係数b, σ, f, gの偏微分を含む新しい構造的条件（1.6）を導入し、行列Λ³ₜ(y)およびΛ⁴ₜ(y)を用いて表現する。この条件により、適切性が保証される。
• 任意の時間区間におけるグローバル解への拡張のために、小さな時間区間[Tᵢ₋₁, Tᵢ]における局所解の区分的構成を用いる。
• 係数のリプシッツ連続性と、終端条件写像のリプシッツ定数の反復的推定に基づく安定性議論を適用する。
• 微分不可能な係数を取り扱うために、モリファイアベースの近似技術を用い、導関数が存在しない場合でも条件（1.6）の検証が可能となるようにする。
• エネルギー型不等式とグローヴァル型の議論を用いて、解のノルムを初期データおよび係数の関数として上界で評価するための事前推定を確立する。
• 時間の逆順に解写像を再帰的に構成し、縮小する区間におけるFBSDEの系列の解を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数の単調性や厳密な微分可能性を要件としないで、高次元FBSDEの適切性を確立できるか？
• RQ2 任意の時間区間におけるFBSDEの解の存在と一意性を保証するための係数に関する構造的条件は何か？
• RQ3 退化する前向き拡散項および確率的係数を有するFBSDEの解理論をどのように拡張できるか？
• RQ4 係数の正則性仮定をどれほど緩和しても、適切性は維持できるか？
• RQ5 新しい条件のもとで、係数および初期データの摂動に対して解写像が安定であると示せるか？

主な発見

• FBSDE（1.1）は、||Θ||² ≤ C I₀²を満たす一意な解Θを有する。ここでCはリプシッツ定数および条件（1.6）の構造定数cに依存する。
• 条件（1.6）は、Zhang（2005）の以前の条件（1.2）よりも著しく弱く、特定の導関数の恒等式と微分可能性を要件としていなかった。
• 本手法は、任意の時間期間、確率的係数、および退化する前向き拡散項を許容でき、これは従来の結果では認められていなかった。
• 一部の偏微分（例：∂ₓσ）が存在しない場合でも、関連する項（1.7）が定義されていれば、結果は成立する。
• 安定性結果（定理3.1）は、係数および初期データの小さな摂動が解に小さな変化をもたらすことを示しており、ロバスト性を保証する。
• 系3.2は、係数および初期データが一様収束する場合に解が収束することを確認しており、数値近似スキームの支持を提供する。