[論文レビュー] The Weyl problem in warped product space

Chunhe Li, Zhizhang Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、空間形式を超える一般の3次元ワーペッド積空間における、厳密に凸な曲面の等長埋め込みの開性を確立し、古典的なWeyl問題を拡張する。連続性法を用い、無限小剛性を仮定しない線形化等長埋め込み系を解くことで、存在結果を証明し、空間形式における無限小剛性を再証明する。一般相対性理論における準局所質量への応用も含む。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the Weyl problem in warped product space. We obtain the openness, non rigidity and some applications. These results together with the a priori estimates obtained by Lu imply some existence results. Meanwhile we reprove the infinitesimal rigidity in the space forms.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間および空間形式の環境空間から、一般の3次元ワーペッド積空間へのWeyl問題の一般化を図ること。
• 連続性法を用いて、ワーペッド積空間における厳密に凸な曲面の等長埋め込み写像の開性を確立すること。
• 既に確立された閉性定理と組み合わせることで、等長埋め込みの存在結果を証明すること。
• ワーペッド積空間の枠組みを用いて、空間形式における無限小剛性を再証明すること。
• 一般相対性理論における準局所質量の定義、特にAnti-de Sitter-Schwarzschild時空への応用を検討すること。

提案手法

• ワーペッド積空間における等長埋め込み問題に連続性法を適用し、正規化リッチフローを介して標準計量から所与の計量へのホモトピー経路を構築する。
• 無限小剛性を仮定しないで、ワーペッド積空間における線形化等長埋め込み系を解く。これはNirenbergの元来のアプローチとは異なる。
• 小パラメータ $\epsilon$ に関する支持関数および計量成分のテイラー展開を用いて、摂動された曲面の幾何を分析する。
• 特に $r=1$ における平均曲率 $H$ とワーペッド因子 $f$ の漸近的展開を導出し、幾何的不変量を計算する。
• 積分恒等式を $
  \mathbb{S}^2$ 上で用い、$\sin^2 u$、$\cos^2 u$、$1-3\sin^2 u$ を含むものにより、$Hf - 2\sqrt{1-m+\kappa}f$ の平均値を計算し、準局所質量と関連付ける。
• $C^{2,\alpha}$-ノルム推定とLuの研究からの事前境界を用いて、線形化問題の可解性および埋め込み写像の開性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のガウス曲率を持つ $\mathbb{S}^2$ 上の滑らかな計量が、3次元ワーペッド積空間へ等長埋め込み可能となる条件は何か？
• RQ2 一般のワーペッド積空間において、厳密に凸な曲面の等長埋め込み写像の開性は、環境空間が空間形式である必要なく成立するか？
• RQ3 ワーペッド積幾何において、無限小剛性を仮定しないで線形化等長埋め込み系を解くことは可能か？
• RQ4 ワーペッド積空間における開性および存在性の結果は、一般相対性理論における準局所質量の定義および非負性とどのように関係するか？
• RQ5 Anti-de Sitter-Schwarzschild時空において、積分 $\int_{\mathbb{S}^2} (H - 2\sqrt{1-m+\kappa}) f \, d\sigma$ の幾何的解釈は何か、質量とどのように関連するか？

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{S}^2$ 上の滑らかな計量が3次元ワーペッド積空間へ厳密に凸な曲面として等長埋め込み可能である集合が、$C^{2,\alpha}$位相において開であることを証明する。
• 無限小剛性を要件としないで、ワーペッド積空間における線形化等長埋め込み系が一般の条件下で可解であることが示され、開性結果が成立することが裏付けられる。
• ワーペッド積空間の断面曲率の下限 $K_0$ よりもガウス曲率 $K > K_0$ を満たす計量に対しては、連続性法を用いて等長埋め込みの存在を確立する。
• 著者らは、空間形式における標準球面の無限小剛性を、自身の枠組みを用いて再証明し、古典的結果と整合性を確認する。
• 小スケール摂動において、積分 $\int_{\mathbb{S}^2} (H - 2\sqrt{1-m+\kappa}) f \, d\sigma$ が正であることが示され、BrownとYorkが定義した準局所質量と関連づけられる。
• 質量に類似する積分の主要項は $\frac{3m}{4} \frac{m+2\kappa}{1-m+\kappa} \epsilon^2$ であり、摂動の大きさとAdS-Schwarzschild時空における質量寄与の間の定量的関係を示す。