[論文レビュー] The Wiener and Terminal Wiener indices of trees

Yahong Chen, Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|May 27, 2013

Graph theory and applications参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、一般化されたベーゼ木のウィーナー指数および端末ウィーナー指数の誤った公式を是正し、ベーゼ木の端末ウィーナー指数の正確な公式を提示する。また、次数 $n$ および最大次数 $\Delta$ を満たすすべての木の中で、端末ウィーナー指数が最小となる木の構造を特定し、その最小端末ウィーナー指数が $(n-1)(\Delta-1)$ であることを証明する。この最小値は、中心頂点の次数が $\Delta$ の星型木によって一意に達成される。

ABSTRACT

Heydari \cite{heydari2013} presented very nice formulae for the Wiener and terminal Wiener indices of generalized Bethe trees. It is pity that there are some errors for the formulae. In this paper, we correct these errors and characterize all trees with the minimum terminal Wiener index among all the trees of order $n$ and with maximum degree $Δ$.

研究の動機と目的

• 一般化されたベーゼ木のウィーナー指数および端末ウィーナー指数に関するHeydariの[7]の公式の誤りを是正すること。
• ベーゼ木の端末ウィーナー指数の正しい一般式を導出すること。
• 固定された次数 $n$ および最大次数 $\Delta$ の下で、端末ウィーナー指数を最小化する木の構造を同定すること。
• すべての次数 $n$ および最大次数 $\Delta$ の木 $\mathcal{T}(n,\Delta)$ において、最小端末ウィーナー指数が $(n-1)(\Delta-1)$ であり、それが最大次数 $\Delta$ の星型木によって一意に達成されることを確立すること。

提案手法

• 再帰的分解と成分サイズ解析を用いて、一般化されたベーゼ木のウィーナー指数の是正された公式を導出する。
• エッジの寄与度に基づく新しい木の端末ウィーナー指数の公式を導入する：$TW(T) = \sum_{e \in T} p_1(e)p_2(e)$、ここで $p_1(e), p_2(e)$ はエッジを削除したときの2つの成分に含まれる端点の数である。
• 是正された公式を用いて、ベーゼ木および正則ジンマーツル木の端末ウィーナー指数を計算する。
• 木の変換技術を用いて $TW(T_{a,b})$ と $TW(T_{a-1,b+1})$ を比較し、$b > a > 1$ のとき等価であり、$a = 1$, $b > 1$ のとき厳密に不等となることを示す。
• 構造的解析を用いて、星型でない木は、それに対応する星型木よりも端末ウィーナー指数が厳密に大きいことを証明する。
• すべての次数 $n$ および最大次数 $\Delta$ の木の中で、星型木が端末ウィーナー指数を最小化することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたベーゼ木の正しいウィーナー指数の公式は何か？ また、Heydariの[7]の公式とはどのように異なるか？
• RQ2 ベーゼ木の正しい端末ウィーナー指数の式は何か？ また、[7]の誤りをどのように是正するか？
• RQ3 $\mathcal{T}(n,\Delta)$ に属するどの木が最小端末ウィーナー指数を達成するか？
• RQ4 最小端末ウィーナー指数は、最大次数 $\Delta$ の星型木によって一意に達成されるか？
• RQ5 木の分岐構造の変化、特に端点の再配分が、端末ウィーナー指数にどのように影響するか？

主な発見

• 一般化されたベーゼ木の是正済みウィーナー指数の公式は $W(B_{k+1}) = \sum_{i=1}^{k} n_{i+1} m_i (n - m_i)$ であり、ここで $n_{i+1}$ はレベル $i+1$ に存在する頂点数、$m_i$ はレベル $i$ の頂点の子の根をもつ部分木に含まれる頂点数である。
• ベーゼ木 $B_{k,d}$ の端末ウィーナー指数は $TW(B_{k,d}) = \frac{d^{k-1}}{d-1}[d^{k-1}(kd - k - d) + 1]$ で与えられ、Heydariの[7]の誤った表現を是正する。
• 正則ジンマーツル木 $T_{k,d}$ に対しては、是正された公式から $TW(T_{k,d}) = d(d-1)^{k-1}\left[kd(d-1)^{k-1} + \frac{1 - (d-1)^k}{d-2}\right]$ が導かれる。
• すべての次数 $n$ および最大次数 $\Delta$ の木の中で、最小端末ウィーナー指数は $(n-1)(\Delta-1)$ であり、それが中心頂点の次数が $\Delta$ の星型木である場合にのみ達成される。
• $T_{a,b}$ から $T_{a-1,b+1}$ への木の変換は、$b > a > 1$ のとき端末ウィーナー指数を保存するが、$a = 1$, $b > 1$ のときは厳密に増加させることを示し、星型構造の最適性を証明する。
• すべての次数 $n$ および最大次数 $\Delta$ の星型木は、同一の端末ウィーナー指数 $(n-1)(\Delta-1)$ を有し、同型を除いて最小化子が一意であることを確認する。