[論文レビュー] The Wiener-Khinchin Theorem for Non-wide Sense stationary Random Processes

Wei Lü, Namrata Vaswani|ArXiv.org|Apr 3, 2009

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、可積分性条件の下で、時間平均自己相関関数のフーリエ変換に等しいパワー スペクトル密度（PSD）が得られることを証明することで、非定常（非WSS）確率過程へのウィーナー＝キンチンの定理の拡張を実現した。主な貢献は、特定の非WSS信号における1次元スペクトル解析およびナイキストに基づくサブサンプリングの実現であり、空間的に非WSSな信号の時間系列におけるシミュレーションによって検証された。

ABSTRACT

We extend the Wiener-Khinchin theorem to non-wide sense stationary (WSS) random processes, i.e. we prove that, under certain assumptions, the power spectral density (PSD) of any random process is equal to the Fourier transform of the time-averaged autocorrelation function. We use the theorem to show that bandlimitedness of the PSD implies bandlimitedness of the generalized-PSD for a certain class of non-WSS signals. This fact allows us to apply the Nyquist criterion derived by Gardner for the generalized-PSD.

研究の動機と目的

• 非広義定常（非WSS）確率過程へのウィーナー＝キンチンの定理の厳密な拡張を目的とする。
• 非WSS過程のPSDがその時間平均自己相関関数のフーリエ変換に等しくなる条件を確立すること。
• 特定の非WSS信号のクラスにおいて、PSDの帯域制限性が一般化PSDの帯域制限性を示すこと。
• PSDに基づく帯域幅推定を用いて、ガーダナーのナイキスト基準を非WSS信号のサブサンプリングに適用可能にする。
• 時間的にi.i.d.または定常な仮定の下で、空間的に非WSSな信号の時間系列（例：ホコリ変形や画像系列）に対して理論を検証すること。

提案手法

• 無限時間の長さにわたる期待値をとった正規化されたピリオドグラムの極限としてPSDを定義する。
• 可積分性条件の下でフビニの定理を用い、期待値と積分の順序を入れ替えることで、時間平均自己相関関数の導出を可能にする。
• 最大絶対自己相関関数 $ R_x^m(\tau) = \sup_t |R_x(t, t-\tau)| $ を導入し、その可積分性を仮定することで収束を保証する。
• PSDが時間平均自己相関関数のフーリエ変換に等しいことを証明し、古典的なウィーナー＝キンチンの定理を一般化する。
• ガーダナーの結果を一般化PSDに適用し、特定の非WSS信号のクラスにおいてPSDの帯域制限性が一般化PSDの帯域制限性を示すこと。
• 時間平均自己相関関数およびピリオドグラム推定を用いたシミュレーションにより理論を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィーナー＝キンチンの定理は、非広義定常過程に厳密に拡張可能か？
• RQ2 非WSS過程のPSDがその時間平均自己相関関数のフーリエ変換に等しくなる条件は何か？
• RQ3 特定の非WSS信号のクラスにおいて、PSDの帯域制限性は一般化PSDの帯域制限性を示すか？
• RQ4 PSD帯域幅推定に基づいて、非WSS信号にナイキストサンプリング基準を適用可能か？
• RQ5 空間的に非WSSな信号の時間系列は、PSDに基づく帯域幅推定を用いてサブサンプリング可能か？

主な発見

• 最大絶対自己相関関数の可積分性が満たされる限り、非WSS過程のPSDはその時間平均自己相関関数のフーリエ変換に等しい。
• NS1に属する信号に対しては、PSDの帯域制限性が一般化PSDの帯域制限性を示し、ガーダナーのナイキスト基準の適用が可能になる。
• 時間的にi.i.d.または定常な空間信号のシミュレーションにより理論的結果が確認された：信号長が増加するに従い、時間平均自己相関関数のフーリエ変換がPSD推定と一致する。
• N=500のPSDから算出された90％帯域幅の2倍の周波数でサブサンプリングした場合、平均二乗再構成誤差は8.05％に達し、N→∞に伴い10％に近づく。
• 本手法により、区分的定常信号における境界検出や分類の前処理として、効率的な次元削減が可能になる。
• 本手法は、i.i.d.および時間的に定常な空間信号の時間系列（例：ホコリ変形や画像系列）の両方で検証された。