[論文レビュー] The Wilson function transform

Wolter Groenevelt|ArXiv.org|Jun 30, 2003

Mathematical functions and polynomials参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、非常にバランスの取れた ${}_{7}F_{6}$-関数を核とするウィルソン関数を用いて、タイプ I およびタイプ II のユニタリ積分変換——ウィルソン関数変換——を導入する。主な貢献は、両変換がパrameter の対合写像（involution）に関して自己双対であること、およびタイプ I 変換がウィルソン多項式をそれらの双対形に写像することにあり、$q \to 1$ の極限において、直交多項式および特殊関数の一般化されたフーリエ変換枠組みを確立する。

ABSTRACT

Two unitary integral transforms with a very-well poised $_7F_6$-function as a kernel are given. For both integral transforms the inverse is the same as the original transform after an involution on the parameters. The $_7F_6$-function involved can be considered as a non-polynomial extension of the Wilson polynomial, and is therefore called a Wilson function. The two integral transforms are called a Wilson function transform of type I and type II. Furthermore, a few explicit transformations of hypergeometric functions are calculated, and it is shown that the Wilson function transform of type I maps a basis of orthogonal polynomials onto a similar basis of polynomials.

研究の動機と目的

• ウィルソン関数を核とする2つのユニタリ積分変換——タイプ I およびタイプ II —— を定義・構成すること。
• 両変換がパラメータの対合写像に関して自己双対であり、逆変換が双対パラメータを用いた元の変換と同一であることの確立。
• タイプ I 変換がウィルソン多項式の直交基底を、双対パラメータを用いた同じ基底に写像することの証明。直交性およびノルムが保存されることを示す。
• ウィルソン関数がウィルソン差分作用素の非多項式固有関数として、スペクトル理論的解釈が可能であることを示すこと。
• ウィルソン関数がアスキー＝ウィルソン関数およびルイゼナールズ関数の極限的状況とどのように関係するかを明らかにし、$q=1$ における $q$-超幾何特殊関数の連続的極限としての役割を位置づけること。

提案手法

• ウィルソン関数は、非常にバランスの取れた ${}_{7}F_{6}$-超幾何級数から導かれる、ウィルソン2階差分方程式の非多項式解として定義される。
• ウィルソン関数の漸近的挙動を用いてヒルベルト空間 $\mathcal{M}$ を構成し、切断された内積が再生核に近づくことから、タイプ I のウィルソン関数変換を導出する。
• 異なる測度構造（無限個の離散成分を含む）を持つヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ を定義し、タイプ II のウィルソン関数変換を定義する。
• 変換核の内積が極限において再生核に近づくことの証明により、変換がユニタリであることを示す。
• 双対パラメータを用いた変換が元の変換を逆写像することを示し、パラメータの対合写像が幾何的パラメータとスペクトル的パラメータを入れ替えることの証明により、双対性を確立する。
• 明示的な積分表現および漸近的解析を用いて、ウィルソン多項式およびヤコビ関数の変換を計算し、写像の性質を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィルソン差分作用素の非多項式固有関数を用いて、どのようにユニタリ積分変換を定義できるか？
• RQ2 パラメータの対合写像に関して、ウィルソン関数変換の自己双対構造はどのようなものか？また、逆変換とはどのように関係するか？
• RQ3 タイプ I のウィルソン関数変換は、直交多項式基底をどのように写像するか？また、この変換におけるウィルソン多項式の像は何か？
• RQ4 ウィルソン関数とアスキー＝ウィルソン関数との関係は、$q \to 1$ の極限においてどのように現れるか？
• RQ5 ウィルソン関数は、アスキー＝ウィルソン関数と同様に、Lie 群または量子群の球関数として解釈可能か？

主な発見

• タイプ I のウィルソン関数変換は、ウィルソン多項式 $R_n(x; a,b,c,1-d)$ を $(-1)^n \frac{(b+c)_n}{(1+a-d)_n} \tilde{R}_n(\lambda)$ に写像する。ここで $\tilde{R}_n$ は双対パラメータを用いたウィルソン多項式である。
• タイプ I のウィルソン関数変換の逆変換は、双対パラメータを用いた同じ変換そのものである。これにより、パラメータの対合写像に関して自己双対構造が確立される。
• タイプ II のウィルソン関数変換は、ウィルソン多項式を、双対多項式のスケーリング版に写像する。この際、三角関数のガンマ関数を含む追加の因子 $\frac{\sin\pi(\tilde{t} \pm i\lambda)}{\sqrt{\sin\pi(a+t)\sin\pi(b+t)\sin\pi(c+t)\sin\pi(1-d+t)}}$ が現れる。
• タイプ I の変換は、$[0,\infty)$ 上の絶対連続部分と有限個の離散質量点を含む測度に関する一般化されたフーリエ変換である。
• タイプ II の変換は、1パラメータ族の測度に関する一般化されたフーリエ変換であり、それぞれが絶対連続部分と無限個の離散質量点を持つ。
• ウィルソン関数が $q \to 1$ の極限においてアスキー＝ウィルソン関数の形式的極限として得られ、また $|q|=1$ のときのルイゼナールズの $R$-関数の極限としても得られることを示し、$q$-特殊関数の連続的極限における役割を確立する。