[論文レビュー] The Witten equation and its virtual fundamental cycle

Huijun Fan, Tyler J. Jarvis+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 24被引用数 97

ひとこと要約

本論文は、Landau-Ginzburg/Calabi-Yau対応におけるWitten方程式の解析的基盤を確立するために、Witten方程式に摂動を導入し、解の空間のモジュライ空間上に仮想基本サイクルを構成し、これがGromov-Witten理論やrスピン理論に類似した公理を満たすことを証明した。仮想サイクルは壁越えに対して不変であり、Picard-Lefschetz理論と一致することが示され、特異点理論における不変量を計算するための厳密な枠組みが提供された。

ABSTRACT

We study a system of nonlinear elliptic PDEs associated with a quasi-homogeneous polynomial. These equations were proposed by Witten as the replacement for the Cauchy-Riemann equation in the singularity (Landau-Ginzburg) setting. We introduce a perturbation to the equation and construct a virtual cycle for the moduli space of its solutions. Then, we study the wall-crossing of the deformation of the virtual cycle under perturbation and match it to classical Picard-Lefschetz theory. An extended virtual cycle is obtained for the original equation. Finally, we prove that the extended virtual cycle satisfies a set of axioms similar to those of Gromov-Witten theory and r-spin theory.

研究の動機と目的

• 特異点理論および鏡像対称性の文脈において、Witten方程式の解析的基盤を確立すること。
• Witten方程式に現れる特異な係数に対処するため、摂動を導入し、解のモジュライ空間上に仮想サイクルを構成すること。
• 摂動理論によって構成された仮想サイクルが、Gromov-Witten理論およびrスピン理論に類似した公理の集合を満たすことを証明すること。
• 摂動パラメータの壁越えが古典的Picard-Lefschetzモノドロミーとどのように関係するかを示し、仮想サイクルと位相的不変量を結びつけること。
• 極限過程を用いて、摂動を加えたWitten方程式の仮想サイクルを元の（摂動なしの）Witten方程式に拡張すること。

提案手法

• 特異な係数を正則化するためにWitten方程式に摂動を導入し、Fredholm理論およびKuranishi理論の適用を可能にする。
• シリンダーメトリクスと漸近的解析を用いて、ノード点およびオーロラ特異点付近における解の挙動を分析する。
• Gromovのコンパクト化およびグルーピング技術を用いて、解のモジュライ空間のコンパクト化を構成する。
• マルチセクション理論と陰関数定理を用いて局所チャートを構築し、仮想基本サイクルを定義する。
• Kuranishi理論を用いて剛体化されたモジュライ空間上に仮想サイクルを構成し、その後、群作用を介して元の空間へ降下させる。
• 一パrameter族の多項式 $\tilde{W}_t = W + tZ$ におけるコボルディズム論法を用いて、仮想サイクルの変形に対する不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異な係数を有するWitten方程式の解のモジュライ空間に対して、どのように仮想基本サイクルを構成できるか？
• RQ2 摂動理論によって構成された仮想サイクルは、Gromov-Witten理論およびrスピン理論の公理に類似した性質を満たすか？
• RQ3 摂動パラメータの壁越えは、特異点理論における古典的Picard-Lefschetzモノドロミーとどのように関係するか？
• RQ4 摂動されたWitten方程式の仮想サイクルを、元の（摂動なしの）方程式に拡張できるか？
• RQ5 多項式 $W$ が定める特異点の不変量と仮想サイクルの関係は何か？

主な発見

• 仮想サイクル $[\overline{\mathscr{M}}_{g,k,W}(\boldsymbol{\gamma})]^{vir}$ は摂動を介して構成され、Gromov-Witten理論およびrスピン理論のすべての公理を満たす。
• 仮想サイクルは壁越えに対して不変であり、古典的Picard-Lefschetzモノドロミーと一致し、特異点理論への深い関係を確立する。
• 元のWitten方程式に対する拡張された仮想サイクルは、摂動されたサイクルの極限として得られ、非連結グラフ、弱凸性、インデックスゼロの公理を満たす。
• $\overline{\mathscr{M}}_{0,3,W}(\gamma,\gamma^{-1},J^{-1})$ の場合、仮想サイクルは、不変ホモロジー上のペアリングのカシミール要素の $\frac{1}{|G|}$ 倍に一致する。
• 仮想サイクルは変形に対して保存される：$[\overline{\mathscr{M}}_{g,k,W,G}(\boldsymbol{\gamma})]^{vir} = \overline{\mathscr{M}}_{g,k,\tilde{W}}(\boldsymbol{\gamma}) \cap [\overline{\mathscr{M}}_{g,k,W}(\boldsymbol{\gamma})]^{vir}$ はコボルディズム論法により証明される。
• 剛体化空間 $\overline{\mathscr{M}}^{\mathrm{rig}}_{g,k,W}(\boldsymbol{\gamma})$ 上の仮想サイクルは、商写像 $so_\Gamma$ を介して元の空間へ降下し、写像の次数がサイクル定義における正規化を補償する。