[論文レビュー] The Witten Index for One-dimensional Non-unitary Quantum Walks with Gapless Time-evolution

Keisuke Asahara, Daiju Funakawa+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 67被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、従来ユニタリで本質的にギャップのある量子ウォークに限定されていたウィッテン指数理論を、非ユニタリでギャップのない1次元量子ウォークへと拡張する。漸近的に定数となるパラメータを持つ非ユニタリな時間発展演算子 𝑈mko を構築することで、本質的スペクトルに ±1 を含む場合でも、非有界なフレドホルム指数がwell-definedであることを示し、ギャップのない領域でもウィッテン指数が非ゼロのまま保たれることを示している。主な貢献は、一般化された非ユニタリ量子ウォークモデルにおける指数および本質的スペクトルの完全分類である。

ABSTRACT

Recent developments in the index theory of discrete-time quantum walks allow us to assign a certain well-defined supersymmetric index to a pair of a unitary time-evolution $U$ and a $\mathbb{Z}_2$-grading operator $\varGamma$ satisfying the chiral symmetry condition $U^* = \varGamma U \varGamma.$ In this paper, this index theory will be extended to encompass non-unitary $U$. The existing literature for unitary $U$ makes use of the indispensable assumption that $U$ is essentially gapped; that is, we require that the essential spectrum of $U$ contains neither $-1$ nor $+1$ to define the associated index. It turns out that this assumption is no longer necessary, if the given time-evolution $U$ is non-unitary. As a concrete example, we shall consider a well-known non-unitary quantum walk model on the one-dimensional integer lattice, introduced by Mochizuki-Kim-Obuse.

研究の動機と目的

• ユニタリで本質的にギャップのある量子ウォークに制限されていたウィッテン指数理論を、非ユニタリでギャップのない系へ一般化すること。
• ℓ²(ℤ, ℂ²) 上に漸近的に定数パラメータを持つ非ユニタリ時間発展演算子 𝑈mko を構築すること。
• 𝑈 が本質的にユニタリでも本質的にギャップがあるわけでもない場合でも、チャイral対 (Γ, 𝑈) のウィッテン指数を定義し、計算すること。
• 漸近的パラメータに基づいて、本質的スペクトル 𝜎ess(𝑈mko) および関連する指数 ind(Γmko, 𝑈mko) を分類すること。
• ウィッテン指数が本質的にギャップのない系であっても非ゼロであることを示し、指数理論における従来の仮定に挑戦すること。

提案手法

• シフト、ゲイン、位相、回転演算子を用いて、ℓ²(ℤ, ℂ²) 上に非ユニタリ時間発展演算子 𝑈mko = 𝑆𝐺Φ𝐶2𝑆𝐺⁻¹Φ𝐶1 を定義する。
• チャイral対称性 𝑈* = Γ𝑈Γ を満たすために、Z2-グレーディング演算子 Γmko = (σ₂𝐶₁𝑆σ₂)Γ₂(σ₂𝐶₁𝑆σ₂)* を導入する。
• スペクトル理論およびウェイルの基準を用いて、本質的スペクトル 𝜎ess(𝑈mko) を分析し、それが 𝕋 ∪ ℝ に含まれることを示す。
• 𝜃₁(±∞), 𝜃₂(±∞), 𝛾(±∞) の漸近値に基づき、6つのケースに 𝜎ess(𝑈mko) を分類し、臨界閾値 𝛾±(★) を導入する。
• 抽象的なボトム・バウンダリー対応の形式を用いて、ウィッテン指数とトポロジカル不変量の関係を関係づける。
• 例7における明示的構成により、𝑈 が本質的にギャップのない場合でもウィッテン指数がwell-definedかつ非ゼロであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 本質的にギャップのない非ユニタリ量子ウォークに対し、ウィッテン指数を定義できるか？
• RQ2 非ユニタリ量子ウォークの本質的スペクトルは、漸近的パラメータにどのように依存するか？
• RQ3 非ユニタリでギャップのない系において、ウィッテン指数とトポロジカル保護の関係は何か？
• RQ4 チャイral対称性および指数理論は、ユニタリでギャップのある設定を超えて一般化可能か？
• RQ5 スペクトルギャップが存在しない状況下で、非ユニタリかつ非コンパクトな摂動のもとでもウィッテン指数は安定か？

主な発見

• ウィッテン指数 ind(Γmko, 𝑈mko) はwell-definedであり、𝑈mko が本質的にギャップのない、すなわち ±1 ∈ 𝜎ess(𝑈mko) の場合であっても非ゼロである可能性を有する。
• 本質的スペクトル 𝜎ess(𝑈mko) は単位円 𝕋 および実数直線 ℝ の部分集合であり、𝜃₁(±∞), 𝜃₂(±∞), 𝛾(±∞) の漸近的値によって完全に決定される。
• 𝜎ess(𝑈mko) は、−sin𝜃₁(★)sin𝜃₂(★) の符号および |𝛾(★)| が臨界閾値 𝛾±(★) に対して相対的に大きいかどうかに基づき6つの異なるケースに分割され、特に Case II は ±1 を含むため特に重要である。
• モデル 𝑈mko は任意の非ゼロ整数 𝑚 に対して 𝑚 ステップのチャイral量子ウォーク (Γₘ, 𝑈ₘ) に一般化可能であり、さまざまな1次元ユニタリ量子ウォークモデルを統一的に扱える。
• ウィッテン指数がスペクトルギャップが存在しない状況下でもトポロジカル不変量であることが示され、従来の指数理論における本質的ギャップ条件の必要性に疑問を呈する。
• 例7では、𝑈mko が本質的にギャップのないが、ind(Γmko, 𝑈mko) ≠ 0 であるケースを明示的に構成しており、指数がギャップのない非ユニタリ系においてもトポロジカル秩序を検出可能であることを証明している。