[論文レビュー] The X-ray transform on a general family of curves on Finsler surfaces

Yernat M. Assylbekov, N. S. Dairbekov|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、自然な幾何的条件下の境界付きおよび閉じたFinsler面上で、X線変換の単射性を確立する。Mukhometovの定理を一般化し、関数 $\psi(x,v) = f(x) + \alpha_x(v)$ のX線変換が、$f = 0$ かつ $\alpha = dh$（$h|_{\partial M} = 0$）であるときにかつそのときに限り消えることを示す。非共役点条件またはAnosovフロー条件のもとで、積分幾何学をFinsler的設定とサーモスタット力学系、リッカティ方程式の解析に拡張する。

ABSTRACT

We consider a general family of curves $Γ$ on a compact oriented Finsler surface $(M,F)$ with boundary $\partial M$. Let $φ\in C^{\infty}(M)$ and $ω$ a smooth 1-form on $M$. We show that $$\int_{γ(t)}\{φ(γ(t))+ω_{γ(t)}(\dotγ(t))\}\,dt=0$$ holds for every $γ\inΓ$ whose endpoints belong to $\partial M$, $γ(a)\in\partial M$, $γ(b)\in\partial M$ if and only if $φ=0$ and $ω$ is exact. Similar results were proved when $M$ is closed and some additional conditions on Gaussian curvature are imposed. We also study the cohomological equations of Anosov generelized thermostats on a closed Finsler surface. Finally, we gave conditions when thermostat is of Anosov type.

研究の動機と目的

• 一般の曲線族に対してMukhometovのX線変換に関する定理をFinsler面上に一般化すること。
• 境界付きコンパクトFinsler面上でのスカラーおよびベクトル場に対するX線変換の単射性を、非共役点条件のもとで確立すること。
• 測地線フローがAnosovであると仮定することで、閉じたFinsler面上への積分幾何学問題の拡張を図ること。
• リッカティ方程式および力学系の技法を用いて、非共役点をもつサーモスタットのコhomological方程式を解析すること。
• 提示された幾何的制約のもとで、X線変換の核が正確に完全形式およびゼロ関数からなることを証明すること。

提案手法

• 曲線族に条件(A1)–(A4)を課す：滑らかさ、各方向に対する曲線の一意性、共役点の不在、Finsler計量による弧長パラメータ化。
• 関数 $\psi(x,v) = f(x) + \alpha_x(v)$ に対して、X線変換 $I_\Gamma\psi(\gamma) = \int_\gamma (f(\gamma(t)) + \alpha_{\gamma(t)}(\dot{\gamma}(t)))\,dt$ を定義する。
• 接バンドル上の接続写像および水平／垂直分解を用いて、ヤコビ場および測地線フローの微分を解析する。
• 共役点の研究にリッカティ方程式 $\dot{r} + r^2 + qr + k = 0$ を適用し、コンパクトな単位球面バンドル上でHopfの方法により有界解を構成する。
• ベクトル場 $\mathbf{F}$、曲率 $\mathbb{K}$、作用素 $V$ を含む積分恒等式を導出し、非負性を示して関数 $f$ の消滅を導く。
• Anosov性およびリッカティ方程式の有界解を用いて、$I_\Gamma\psi = 0$ ならば $f = 0$ かつ $\alpha = dh$（$h|_{\partial M} = 0$）であることを示し、単射性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きFinsler面上で、X線変換がどのような条件下で単射になるか。
• RQ2 非共役点条件は、積分幾何学的文脈における測地線フローの振る舞いをどのように一般化するか。
• RQ3 測地線フローのAnosov性が、閉じたFinsler面上での単射性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ4 非共役点をもつサーモスタットのコhomological方程式は、リッカティ型力学系を用いて解けるか。
• RQ5 Mukhometovの定理は、ユークリッド的およびリーマン的設定を越えて、Finsler的およびサーモスタット系にどの程度まで拡張可能か。

主な発見

• 条件(A1)–(A4)のもとで、X線変換 $I_\Gamma\psi$ が恒等的に消えるのは、$f = 0$ かつ $\alpha = dh$（ある滑らかな $h$ で $h|_{\partial M} = 0$）であるときにかつそのときに限り成り立つ。
• 本結果は、Mukhometovの定理をFinsler面上に一般化し、ユークリッド的および実解析的曲線族の範囲を超えて拡張する。
• 閉じたFinsler面上では、測地線フローがAnosovであると仮定すれば、単射性が成り立つ。これは十分な周期的曲線と有界な力学的振る舞いを保証する。
• コンパクトな $SM$ 上でHopfの方法を用いて、リッカティ方程式 $\mathbf{F}(r) + r^2 + qr + k = 0$ の有界可測解 $r(x,v)$ の存在が確立される。
• 積分恒等式 $\int_{SM} (\mathbf{F}\varphi)^2 - \mathbb{K}\varphi^2 \, d\mu \geq 0$ が導かれ、コhomological方程式における $f = 0$ の証明に用いられる。
• 証明により、非共役点をもつコhomological方程式の任意の解は $f = 0$ を満たさねばならず、これによりX線変換が消えるためには $\alpha = dh$ でなければならないことが示される。