[論文レビュー] The Yamabe equation on manifolds of bounded geometry

Nadine Große|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有界幾何の開多様体上で、正の $ L^2 $-スペクトルを有する共形ラプラシアンおよび無限遠におけるヤマベ不変量が標準ヤマベ不変量を上回るという条件下で、重み付きソボレフ埋め込みを用いることにより、ヤマベ方程式の滑らかで正の解の存在を確立する。主な結果は、非コンパクトな設定下でも、定数スカラー曲率を持つ共形計量の存在である。

ABSTRACT

We study the Yamabe problem on open manifolds of bounded geometry and show that under suitable assumptions there exist Yamabe metrics, i.e. conformal metrics of constant scalar curvature. For that, we use weighted Sobolev embeddings.

研究の動機と目的

• 有界幾何の多様体上で非コンパクトヤマベ問題を解き、ヤマベ方程式の解の存在を確立すること。
• 正のスカラー曲率を仮定する従来の結果を拡張し、共形ラプラシアンの $ L^2 $-スペクトルが正の定数以上に下から有界であるという仮定を採用すること。
• 非コンパクトな設定におけるコンパクト性の欠如を克服するために、重み付きソボレフ埋め込みを導入し、それを用いること。
• 無限遠におけるヤマベ不変量を定義し、その解析を通じて解の存在基準における中心的役割を明らかにすること。
• ヤマベ汎関数のオイラー＝ラグランジュ方程式の滑らかで正で有界な解 $ H_1^2 \cap L^\infty $ の存在を証明すること。

提案手法

• 著者らは重み付き部分臨界ヤマベ問題を用い、$ \rho = e^{-r} $ を径方向の許容重みとして、$ \rho^\alpha L^p $ に正規化された関数のエネルギー汎関数の下界を $ Q_p^\alpha $ と定義する。
• コンパクト性を保証するため、$ H_1^2 \hookrightarrow \rho^\alpha L^p $ の埋め込みが $ \alpha > 0 $ に対してコンパクトであることを示すために、重み付きソボレフ埋め込みを適用する。
• 証明は、$ |r(x) - \mathrm{dist}(x,z)| < \xi $ を満たす径方向関数 $ r $ の存在に依存しており、これにより $ \rho = e^{-r} $ が有界幾何多様体上で良好に振る舞う重みとなる。
• 内部 $ L^p $-推定とシューディンガー推定に基づくブートストラップ法により、$ p < p_{\text{crit}} $ の場合に解が連続的であり、無限遠で減衰することを示す。
• 臨界ケース $ p = p_{\text{crit}} $ では、$ v \in L^\infty $ という仮定を用いて、$ H_2^q $-ノルムの一様有界性により、減衰性および正則性の結果を拡張する。
• 証明は背理法に依拠する：一様に有界な正の値をとる点列の存在を仮定すると、ホルダー連続性から導かれる減衰推定と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界幾何の開多様体上でヤマベ方程式が正の解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 正のスカラー曲率を仮定しない非コンパクトな設定下でも、定数スカラー曲率を持つ共形計量の存在を保証できるか？
• RQ3 重み付きソボレフ埋め込みは、非コンパクト多様体上でのヤマベ問題の変分的アプローチにおけるコンパクト性をどのように回復できるか？
• RQ4 無限遠におけるヤマベ不変量は解の存在にどのような役割を果たすか？
• RQ5 非コンパクトヤマベ問題において、正のスカラー曲率の仮定を $ \mu(M,g) > 0 $ というスペクトル条件が置き換えられるか？

主な発見

• 正の $ \mu(M,g) > 0 $ および $ \overline{Q}(M,g) > Q(M,g) $ の下で、$ \|v\|_{p_{\text{crit}}}=1 $ を満たす滑らかで正の解 $ v \in H_1^2 \cap L^\infty $ が、オイラー＝ラグランジュ方程式 $ Lv = Q(M) v^{p_{\text{crit}}-1} $ に対して存在する。
• $ \mu(M,g) > 0 $ という条件は $ Q(M,g) > 0 $ を含意し、ヤマベ汎関数がゼロから離れていることを保証する。
• 重み付きソボレフ埋め込み $ H_1^2 \hookrightarrow \rho^\alpha L^p $ は $ \alpha \geq 0 $ に対して連続的であり、$ \alpha > 0 $ に対してはコンパクト的である。これは変分法において極めて重要である。
• 部分臨界問題の解は無限遠で減衰する：$ \lim_{|x|\to\infty} v(x) = 0 $ であり、$ L^\infty $-有界性のもとで臨界ケースにその減衰性が保存される。
• 排出法を避けるために重み付きノルムを用いることでコンパクト性を達成し、コンパクト排出に依存する手法とは異なる代替手段を提供する。
• 一様に正のスカラー曲率を有するほぼ均質な多様体では、$ \overline{Q}(M,g) > Q(M,g) $ という仮定を省略可能であり、基準を単純化できる。