[論文レビュー] The Yamabe problem with singularities

Farid Madani|ArXiv.org|Apr 10, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ L^p $-係数（$ p > n/2 $）を持つヤマベ型方程式の正で滑らかな解の存在を示すことにより、特異計量を備えたリーマン多様体への古典的ヤマベ問題の拡張を試みる。鋭い正則性推定を確立し、曲率条件（H）を満たす計量に対して、定数スカラー曲率を持つ共形計量が常に存在することを示し、滑らかでない状況への滑らかなヤマベ解の一般化を達成する。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be a compact Riemannian manifold of dimension $n\geq 3$. Under some assumptions, we prove that there exists a positive function $φ$ solution of the following Yamabe type equation Δφ+ hφ= ilde h φ^{\frac{n+2}{n-2}} where $h\in L^p(M)$, $p>n/2$ and $ ilde h\in \mathbb R$. We give the regularity of $φ$ with respect to the value of $p$. Finally, we consider the results in geometry when $g$ is a singular Riemannian metric and $h=\frac{n-2}{4(n-1)}R_g$, where $R_g$ is the scalar curvature of $g$.

研究の動機と目的

• 滑らかでないスカラー曲率を有する特異計量を備えたコンパクトなリーマン多様体への古典的ヤマベ問題の一般化を目的とする。
• スカラー曲率が $ h \in L^p(M) $、$ p > n/2 $ を満たすヤマベ型方程式 $ \Delta_g\varphi + h\varphi = \tilde{h}\varphi^{\frac{n+2}{n-2}} $ の正の弱解の存在と正則性を確立すること。
• 曲率条件（H）—ウェイリ・テンソルとスカラー曲率を含む条件—が満たされる場合、定数スカラー曲率を持つ共形計量が存在することを証明すること。
• スカラー曲率 $ \mu(g) \leq 0 $ の場合に、ヤマベ解の一意性結果を特異的状況に拡張し、解が比例することを示すこと。

提案手法

• エネルギー汎関数を最小化するための変分法と、$ \mu(g) = \inf_{\psi \in H^1(M) \setminus \{0\}} I_g(\psi) $（ここで $ I_g(\psi) = \frac{\int_M |\nabla\psi|^2 + \frac{n-2}{4(n-1)}R_g\psi^2 \, dv}{\|\psi\|_N^2} $）を用いて、エネルギー汎関数を最小化する。
• 楕円型方程式の正則性理論を適用：定理4により、$ h \in L^p(M) $、$ p > n/2 $ を満たす $ H^1(M) $ 内の弱解が $ C^{1-[n/p],\beta}(M) $ に属し、正であることを示す。
• 弱解のテストと $ L^q $-可積分性を導くために、補助関数 $ H $ と $ F $ を用いた切断技術を用いる。これにより、ソボレフ埋没と $ H^p_2 $-正則性の適用が可能になる。
• グリーン関数と共形正規座標に基づくテスト関数 $ \varphi_\varepsilon $ を構成し、$ \mu(g) $ の推定を行う。条件（H）の下で $ \mu(g) < K^{-2}(n,2) $ を証明する。
• 正の質量定理と共形正規座標（Lee–Parker）を用いて、グリーン関数の漸近的展開を分析し、曲率推定を得る。
• 比 $ \psi = \varphi_1 / \varphi_2 $ における比較原理と最大原理を用いて、$ \mu(g) \leq 0 $ の場合に解の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー曲率が滑らかでない場合でも、$ H^p_2 $ に属する特異計量（$ p > n $）に対してヤマベ問題が解けるか？
• RQ2 スカラー曲率が $ h \in L^p(M) $、$ p > n/2 $ を満たす場合、ヤマベ型方程式 $ \Delta_g\varphi + h\varphi = \tilde{h}\varphi^{\frac{n+2}{n-2}} $ の解にどの程度の正則性が保証されるか？
• RQ3 幾何的条件（例えば、曲率の有界性やウェイリ・テンソルの挙動）が、$ \mu(g) $ が $ \mu(g) < K^{-2}(n,2) $ を満たすために必要な条件は何か？ これにより、定数スカラー曲率を持つ共形計量の存在が保証される。
• RQ4 スカラー曲率 $ \mu(g) \leq 0 $ の場合に、ヤマベ解の（スケーリングを除く）一意性が特異計量の場合に拡張されるか？ もしそうなら、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 任意の次元 $ n \geq 3 $ のコンパクトなリーマン多様体 $ (M,g) $ に対して、$ g \in H^p_2(M) $、$ p > n $ かつ条件（H）を満たす場合、正の $ \varphi \in H^p_2(M) $ が存在し、ヤマベ型方程式を $ \tilde{h} = \mu(g) $ で満たす。これにより、共形計量 $ \tilde{g} = \varphi^{4/(n-2)}g $ が定数スカラー曲率を持つことが保証される。
• 係数 $ h \in L^p(M) $、$ p > n/2 $ を満たすヤマベ型方程式の解 $ \varphi $ は、$ L^p $-正則性と最大原理により、$ C^{1-[n/p],\beta}(M) $ に属し、正である。
• 多様体 $ (M,g) $ が標準球面と共形同値でない場合に加え、条件（H）を満たすならば、$ \mu(g) < K^{-2}(n,2) = \frac{1}{4}n(n-2)\omega_n^{2/n} $ が成り立ち、変分法により解の存在が保証される。
• $ \mu(g) \leq 0 $ の場合、ヤマベ方程式のすべての正の解は比例する。これは、特異的状況への一意性結果の拡張を示している。
• 証明は、グリーン関数と共形正規座標を用いて構築されたテスト関数 $ \varphi_\varepsilon $ に依存し、$ \mu(g) \leq K^{-2}(n,2) + c\varepsilon_0^2(c\rho_0 - A) $ を得る。$ A > 0 $ の場合、$ \rho_0 $ を十分に小さく選ぶことで $ \mu(g) < K^{-2}(n,2) $ を満たす。
• 次元 $ n = 6 $ の場合、$ |W_g(P_0)| > 0 $ つまり、点 $ P_0 $ でウェイリ・テンソルが非ゼロであれば、$ \mu(g) < K^{-2}(n,2) $ が成り立ち、球面との非共形性が保証される。