[論文レビュー] The Yang-Mills gradient flow in finite volume

Zoltán Fodor, Kieran Holland+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2012

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 9被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、質量ゼロのフェルミオンを含むSU(N)ヤンミルズ理論において、4次元トーラス上に勾配フローを適用することで、有限体積におけるランニングカップリングスキームを構築した。非ゼロ運動量のゲージモードは摂動論的に取り扱い、ゼロモード（定数ゲージ場）は厳密に取り扱い、場の強度の二乗の期待値 ⟨t²E(t)⟩ を計算した。これにより、代数的および指数的項を含む有限体積補正が得られた。主な結果は、ボックスサイズ L に応じてランニングする1パラメータ族のランニングカップリングであり、無限体積への外挿が必要ないスケール設定スキームを可能にする。

ABSTRACT

The Yang-Mills gradient flow is considered on the four dimensional torus T^4 for SU(N) gauge theory coupled to N_f flavors of massless fermions in arbitrary representations. The small volume dynamics is dominated by the constant gauge fields. The expectation value of the field strength tensor squared is calculated for positive flow time t by treating the non-zero gauge modes perturbatively and the zero modes exactly. The finite volume correction to the infinite volume result is found to contain both algebraic and exponential terms. The leading order result is then used to define a one parameter family of running coupling schemes in which the coupling runs with the linear size of the box. The new scheme is tested numerically in SU(3) gauge theory coupled to N_f = 4 flavors of massless fundamental fermions. The calculations are performed at several lattice spacings with a controlled continuum extrapolation. The continuum result agrees with the perturbative 2-loop prediction for small renormalized coupling as expected.

研究の動機と目的

• ボックスの線形サイズ L に応じてランニングする、有限体積ヤンミルズ理論における新しいランニングカップリングスキームの定義。
• 標準的な無限体積勾配フロー手法における有限体積補正の課題への対処。
• 無限体積への外挿が不要なステップスケーリング解析の実現。
• 低コストで計算が効く、大規模時間外挿が不要な、格子QCDのための数値的効率の良いスキームの提供。

提案手法

• 勾配フローは、周期的境界条件を満たす4次元トーラス T⁴ に適用される。
• 非ゼロ運動量ゲージモードは1ループ摂動論的扱いであり、ゼロモード（定数ゲージ場）は厳密に取り扱われる。
• ゼロモードのための有効作用は、非ゼロモードを統合することで導出され、1ループβ関数を介して裸カップリングへの補正が生じる。
• 場の強度の二乗 ⟨t²E(t)⟩ は、フローファイの時間 t とボックスサイズ L の関数として計算され、補正項はヤコビシータ関数を用いて表現される。
• 次元なし比 c = √(8t)/L を固定することで、1パラメータ族のランニングカップリングスキームが定義され、gR(L) が L に応じてランニングする。
• 数値的妥当性は、複数の格子スケールと連続極限を伴う、Nf=4 の質量ゼロのフェルミオンを含むSU(3)ゲージ理論で確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的境界条件を満たす4次元トーラス上でのヤンミルズ勾配フローの振る舞いはいかなるものか？
• RQ2 無限体積における場の強度の二乗 ⟨t²E(t)⟩ の期待値に対する有限体積補正は何か？
• RQ3 フローファイの時間 t ではなくボックスの線形サイズ L に応じてランニングする新しいランニングカップリングスキームを定義できるか？
• RQ4 ゼロモードと非ゼロモードの相互作用から、代数的および指数的有限体積補正がどのように生じるか？
• RQ5 この新しいスキームは、制御された連続極限と摂動論的予測との整合性を保ちながら、数値的に実現可能か？

主な発見

• ⟨t²E(t)⟩ に対する一次の有限体積補正は δ = δa + δe で与えられ、δa = -64π²t²/(3L⁴) および δe = θ⁴(exp(-L²/(8t))) - 1 であり、ヤコビシータ関数を含む。
• 指数的項 δe には 8exp(-L²/(8t)) や 24exp(-L²/(4t)) のような寄与が含まれ、非摂動的有限サイズ効果を捉えている。
• L → ∞ の極限で無限体積極限が回復され、Luscher:2010iy で知られている結果が再現される。
• SU(3)における Nf=4 の数値的シミュレーションの連続極限は、小さな再正規化カップリングに対して摂動論的予測と一致する。
• 新しいカップリングスキームは、構成上有限体積補正を回避しており、ランニングスケールがボックスサイズ L であるためである。
• このスキームは計算的に効率が良く、グルーオンの観測量のみを必要とし、大規模時間への外挿が不要である。