[論文レビュー] The Yellowstone Permutation

David Applegate, Hans Havermann+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2項前との公約数を共有し、直前の項と互いに素である最小の未使用の正の整数を選んで定義される、ヤヌスキー・プレリューディングと呼ばれる数列を紹介する。この数列が自然数の完全な置換であることを証明し、交互に現れる偶数・奇数の連続列と素数の位置に現れる噴水のようなグラフパターンを示し、それらの背後には無限に多くの曲線が存在すると示唆している。主な貢献は、この数列の普遍性の厳密な証明と、そのダイナミクスの構造的解析である。

ABSTRACT

Define a sequence of positive integers by the rule that a(n) = n for 1 <= n <= 3, and for n >= 4, a(n) is the smallest number not already in the sequence which has a common factor with a(n-2) and is relatively prime to a(n-1). We show that this is a permutation of the positive integers. The remarkable graph of this sequence consists of runs of alternating even and odd numbers, interrupted by small downward spikes followed by large upward spikes, suggesting the eruption of geysers in Yellowstone National Park. On a larger scale the points appear to lie on infinitely many distinct curves. There are several unanswered questions concerning the locations of these spikes and the equations for these curves.

研究の動機と目的

• 再帰的な互いに素性と公約数制約を満たす新しい整数列を定義・分析すること。
• すべての正の整数が数列にちょうど一度ずつ現れることを証明し、それが自然数の置換であることを確立すること。
• ヤヌスキー国立公園の間欠泉に似た視覚的に目立つグラフの性質を説明すること。
• 素数、合成数、およびグラフにおける無限の曲線の存在といった、数列の構造的性質を調査すること。
• 置換に起因する力学的挙動、特に軌道、サイクル、不動点を探索すること。

提案手法

• 再帰的に数列を定義：a(n) は a(n-2) と共通因数を共有し、a(n-1) と互いに素である未使用の最小の正の整数であり、初期値は a(1)=1, a(2)=2, a(3)=3 とする。
• 背理法を用いて、すべての素数が数列に現れることを示し、それ以前の項を割らない十分に大きな素数の存在に依拠する。
• 素数の高次の累乗がより小さい代替案として存在することを根拠に、すべての素数が無限に多くの項を割ることを確立する。
• 最小の欠落数を仮定し、互いに素性の制約と素数の無限性を用いて矛盾を導くことで、すべての正の整数が出現することを証明する。
• 数値計算と可視化によりグラフ構造を分析し、素数、偶数、奇数の合成数、および高密度の疎な点に対応する曲線を特定する。
• 置換によって誘導される力学系を研究し、有限サイクルと予想される無限軌道を、数値的証拠と軌道解析を用いて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての正の整数がヤヌスキー・プレリューディングに現れるか。これにより、自然数の完全な置換が保証されるか？
• RQ2 なぜこの数列のグラフは素数の位置に噴水のようなスパイクを示し、偶数・奇数が交互に現れる連続列を示すのか？
• RQ3 数列の項が存在する異なる曲線は無限に存在するのか。それらの定義式は何か？
• RQ4 この置換における軌道の構造はどのようなものか。また、大多数の整数は無限軌道に属しているのか？
• RQ5 グラフに観察される勾配と曲線パターンは、数列の数論的性質によって説明可能か？

主な発見

• すべての正の整数が出現することが、互いに素性の制約と素数の無限性に起因して証明され、数列が正の整数の置換であることが示された。
• グラフは素数の項に下向きのスパイクを示し、2ステップ後には上向きのスパイク（噴水）を示し、項は素数、偶数、奇数の合成数に対応する明確な曲線上またはその近くに位置している。
• 奇数の合成数はグラフで最も密度の高い曲線（ラベル 'C'）を形成するが、素数は最も低い曲線（'p'）上にあり、偶数は2番目の曲線（'E'）上にある。
• 数列の構造は、項が存在する異なる曲線が無限に存在すると示唆しているが、これはまだ未解決の予想のままである。
• 7つの不動点を除き、27の既知の有限サイクルがあり、サイクルに含まれる最小の項として最大のものは 756023506（45サイクル）である。
• 数値的証拠は、ほとんどすべての正の整数が置換下で無限軌道に属するとの予想を支持しているが、前向きおよび逆方向の軌道の収束はほとんどありえない。